Domanda "tecnica" sui gruppi

[Zuzzerello1]

Dato un gruppo additivo $(G,+)$ si ha che esso è dotato della proprietà associativa per ogni suo elemento, il quale a sua volta sarà sempre dotato di inverso; inoltre vi è un elemento in $G$ detto neutro e indicato come $0_G$.
Ora vorrei porre una questione: il fatto che $0_G$ sia unico come elemento neutro è intrinseco nella definizione di gruppo? Oppure a partire dalle proprietà di un gruppo è necessario dimostrarlo?
Vi ringrazio del tempo perso!

[j18eos]

In generale per una struttura algebrica con elemento neutro si dimostra che esso è unico.

Esempio, sia \(\displaystyle(\mathbb{A},\sharp)\) una stuttura algebrica, \(\displaystyle e_1\) ed \(\displaystyle e_2\) suoi elementi neutri; allora:
\[
e_1=e_1\sharp e_2=e_2.
\]
Ti è chiaro?

[Zuzzerello1]

Certo! Chiarissimo! Se assumiamo come assiomi le proprietà che una struttura algebrica deve avere per essere un gruppo, allora si ha che il mio enunciato non si assume come assioma, perché si dimostra a partire dagli altri.... E quindi pur essendo sempre vero si riduce ad un semplice lemma....

[garnak.olegovitc1]

@Zuzzerello,
puoi anche non partire dagli assiomi della struttura algebrica gruppo... ai tempi mi ricordo che puoi partire dagli assiomi:

1) proprietà associativa di \( + \)
2) esistenza dell'elemento neutro rispetto a \( + \)

significa, se non erro, avere come struttura un "monoide" (rispetto ad \( + \)), e da questi due dimostri "l'esistenza unica dell'elemento neutro"!!

Ripeto, è passato tanto tempo... ergo spero di non aver detto cavolate!!

P.S.= quoto in toto la risposta di @j18eos

[vict85]

Se esiste un elemento neutro sinistro e destro allora questi due coincidono, come dimostrato sopra. Comunque la definizione di gruppo non è minimale.

È per esempio sufficiente dimostrare l'esistenza di un elemento neutro sinistro e di un inverso sinistro. È un carino esercizio con cui esercitarsi.

[Zuzzerello1]

@garnak.olegovitc: Sì, in teoria bastano gli assiomi per un monoide per provare che l'elemento neutro in un monoide è unico! I'esistenza dell'inverso non è necessaria!

@vict85: "È per esempio sufficiente dimostrare l'esistenza di un elemento neutro sinistro e di un inverso sinistro. È un carino esercizio con cui esercitarsi.". Non mi è chiara questa frase! intendi che dimostrare l'esistenza di un elemento neutro sinistro e di un inverso sinistro corrisponde a provare l'unicità dell'elemento neutro? (non ho provato a farlo, sto supponendo!).
Grazie comunque a tutti delle risposte....

[j18eos]

@Zuzzerello No, l'esistenza dell'elemento neutro sinistro nelle strutture algebriche associative implica la sua unicità! Mutatis mutandis lo stesso ragionamento per gli elementi inversi sinistri!

[vict85]

No, intendevo dire che se esiste un inverso sinistro e un elemento neutro sinistro allora l'insieme è un gruppo, cioè l'inverso è anche un inverso destro e l'elemento neutro è anche destro.

[Zuzzerello1]

"j18eos":@Zuzzerello No, l'esistenza dell'elemento neutro sinistro nelle strutture algebriche associative implica la sua unicità! Mutatis mutandis lo stesso ragionamento per gli elementi inversi sinistri!

No, intendevo dire che se esiste un inverso sinistro e un elemento neutro sinistro allora l'insieme è un gruppo, cioè l'inverso è anche un inverso destro e l'elemento neutro è anche destro.

Ma potrebbero esserci più elementi neutri sinistri o più inversi sinistri! Non bisogna verificarne l'unicità in primis?

[vict85]

No.

Teorema 1 Sia \(\displaystyle (G,\cdot) \) una struttura algebrica di almeno due elemento e con prodotto associativo. Supponiamo che
[list=1][*:oekyxg40] esista \(\displaystyle e \) tale che \(\displaystyle ea = a \) per ogni \(\displaystyle a \);[/*:m:oekyxg40]
[*:oekyxg40] per ogni \(\displaystyle a \) esista \(\displaystyle a^{-1} \) tale che \(\displaystyle a^{-1}a = e \) [/*:m:oekyxg40][/list:o:oekyxg40]
allora \(\displaystyle G \) è un gruppo.

Dimostrazione: Sia \(\displaystyle a \) un elemento diverso da \(\displaystyle e \). Allora si ha che \(\displaystyle (aa^{-1})^2 = a(a^{-1}a)a^{-1} = a(ea^{-1}) = aa^{-1} \). D'altra parte posto \(\displaystyle x = aa^{-1} \) allora si ha che \(\displaystyle e = x^{-1}x = x^{-1}xx = ex = x \). Questo dimostra che ogni inverso sinistro di \(\displaystyle G \) è anche destro.
A questo punto però è semplice perché \(\displaystyle ae= aa^{-1}a = ea = a \), cioé \(\displaystyle e \) è anche inverso destro.
Questo dimostra che \(\displaystyle G \) è un gruppo.

Teorema 1 Sia \(\displaystyle (G,\cdot) \) un gruppo, allora elemento neutro e inverso sono unici.

Dimostrazione: Sia \(\displaystyle a \) un elemento diverso da \(\displaystyle e \). e siamo \(\displaystyle a_1^{-1} \) e \(\displaystyle a_2^{-1} \) due elementi inversi per \(\displaystyle a \). Allora \(\displaystyle a_1^{-1} = a_1^{-1}e = a_1^{-1}aa_2^{-1} = ea_2^{-1} = a_2^{-1} \).
Inoltre se \(\displaystyle e' \) e \(\displaystyle e \) sono elementi neutri allora \(\displaystyle e' = e'e = e \).

Nel caso non ci si trovi in un gruppo possono esistere due elementi neutri destri o sinistri purché non esistano elementi neutri di tipo diverso.

[Zuzzerello1]

Ok ok! Grazie del post ben realizzato! Ora è chiaro! Avevo frainteso quello scritto in precedenza! Molto interessante!