Domanda numeri primi
salve a tutti ....è la prima volta che scrivo sul questo sito.....pur non occupandomi di matematica( studio medicina), ogni tanto quando posso mi piace dedicare un po di tempo a cercare informazioni su argomenti matematici che mi "affascinano"(ovviamente si tratta di letture superficiali)....e tra questi ci sono sempre stati i numeri primi.....un paio di gg fa mi è capitato che un mio collega di uni mi proponesse una domanda alla quale nn so rispondere data la mia ignoranza a riguardo.....non so se questa sia la sezione giusta x chiederlo....cmq mi chiedeva quanto vale la somma complessiva dell' inverso di tutti i numeri primi a partire da 2 in poi......in poche parole quanto fa 1/2 + 1/3 +1/5+ 1/7+ 1/11 + 1/13......dalle mie reminiscenze di liceo questa dovrebbe essere una serie.....ma è convergente o divergente??? e la stessa domanda valeva anche per la somma 1/2+1/6+1/30+1/210, dove il denominatore è il prodotto dei numeri primi precedenti......per cui qualcuno puo darmi una risposta alla mia domanda?? so che può sembrare una domanda strana, la il fatto di non riuscire a rispondere aumenta la mia curiosità a riguardo....
PS:giusto per farvi fare due risate immaginate che da questa domanda ne è nata una discussione di mezz'ora durante la lezione di chirurgia generale che ha coinvolto 10 persone delle quali la + acculturata in matematica sapeva fare al max le tabelline
PS:giusto per farvi fare due risate immaginate che da questa domanda ne è nata una discussione di mezz'ora durante la lezione di chirurgia generale che ha coinvolto 10 persone delle quali la + acculturata in matematica sapeva fare al max le tabelline
Risposte
Benvenuto nel forum.
Per quanto riguarda la prima questione, si tratta di un problema famoso. Vedi qui.
Per quanto riguarda la seconda questione, siccome ogni numero primo maggiore di 3 è minore del prodotto dei primi precedenti (c'è addirittura un teorema che afferma che il primo successivo al primo [tex]p[/tex] è minore di [tex]2p[/tex]), puoi maggiorare la tua serie con [tex]1/2+1/6+ \sum_{5 \leq p \in P} 1/p^2[/tex] che converge dato che [tex]\sum_{1 \leq n \in \mathbb{N}} 1/n^2[/tex] converge (cfr. qui).
In ogni caso per illuminazioni varie ed eventuali vedi qui (leggi proprio il paragrafo "infinità").
Per quanto riguarda la prima questione, si tratta di un problema famoso. Vedi qui.
Per quanto riguarda la seconda questione, siccome ogni numero primo maggiore di 3 è minore del prodotto dei primi precedenti (c'è addirittura un teorema che afferma che il primo successivo al primo [tex]p[/tex] è minore di [tex]2p[/tex]), puoi maggiorare la tua serie con [tex]1/2+1/6+ \sum_{5 \leq p \in P} 1/p^2[/tex] che converge dato che [tex]\sum_{1 \leq n \in \mathbb{N}} 1/n^2[/tex] converge (cfr. qui).
In ogni caso per illuminazioni varie ed eventuali vedi qui (leggi proprio il paragrafo "infinità").
in primis ti ringrazio per la risposta esauriente......mi rimane solo un dubbio ....se la seconda serie converge(per intenderci quella con prodotto di numeri primi al denominatore , ebbene verso quale numero converge?
"tobia88":Non ne ho proprio idea.
se la seconda serie converge(per intenderci quella con prodotto di numeri primi al denominatore , ebbene verso quale numero converge?
La seconda serie penso si possa maggiorare anche con la serie di termine generale $ 1/{n!} $ che escludento il valore per n=1 verrebbe $ e-1 $. Quindi dovrebbe convergere ad un valore che si aggira intorno a 0.78... e infatti calcolando col computer mi viene una cosa tipo 0.705...
"perplesso":
La seconda serie penso si possa maggiorare anche con la serie di termine generale $ 1/{n!} $ che escludento il valore per n=1 verrebbe $ e-1 $. Quindi dovrebbe convergere ad un valore che si aggira intorno a 0.78... e infatti calcolando col computer mi viene una cosa tipo 0.705...
si hai ragione....calcolata col pc fa 0.705230
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