[Domanda di teoria] Controimmagine

[Blackorgasm]

Sia $ X sub RR^n $ e $ Y sub RR^m $ insiemi non vuoti. Sia $ B sub RR^m $ e $f:X->Y$

definiamo l'insieme $f^(-1)(B)={x in X: f(x) in B}$; questo insieme si chiama la controimmagine di $B$ tramite $f$; ovviamente si ha che
$f^(-1)(B)=f^(-1)(B nn Y)$

perchè questo è vero? non riesco a capire il senso logico, il libro dice anche che è ovvio magari poi è una sciocchezza

[dissonance]

[mod="dissonance"]Sposto in Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta.[/mod] Hai sicuramente dimenticato di dire che $f: X \to Y$.

Suggerimento: dimostra che l'operazione di controimmagine è compatibile con tutte le operazioni tra insiemi. Ovvero:

$f^{-1}(AuuB)=f^{-1}(A)uuf^{-1}(B)$;
$f^{-1}(A nn B)=f^{-1}(A)nnf^{-1}(B)$;
se $A \subset B$, $f^{-1}(B\setminus A)=f^{-1}(B)\setminus f^{-1}(A)$.

E' facile, basta ragionare un poco. Fatto ciò, scrivi $f^{-1}(B)$ come $f^{-1}(B)nn f^{-1}(Y)$ e quindi, per quanto hai appena dimostrato, come $f^{-1}(B nn Y)$.

[dissonance]

Ah per favore, ho dimenticato di chiederti di cambiare il titolo. Mettine uno meno generico, che almeno contenga la parola "controimmagine". Grazie.

[Rigel1]

Immagino sia sottinteso che $f:X\to Y$, nel qual caso l'uguaglianza da te indicata è effettivamente ovvia (infatti hai che $f(x)\in B$ se e solo se $f(x) \in B\cap Y$).
In caso contrario, invece, è in generale falsa.

[Blackorgasm]

ho corretto tutto la banalità sta nel fatto che siccome è $f:X->Y$, l'insieme come è stato descritto ($f^(-1)(B)$) può avere significato se e solo se $B nn Y$ giusto?

se è così è sul serio ovvio