Domanda di logica elementare

[maurioz]

Ho un dubbio riguardo l'impossibilità di scambiare i quantificatori in logica.Mi confodno un po'

So che non posso scambiarli impunemente, tuttavia non capisco bene come convenda ragionare.

Mettiamo di avere l'enunciato aperto
1)P(x,y):"x-y=5"
2)P(x,y):"x è il padre di y"

Con insiemi di dfinizione reali e esseri umani nei due casi.

Voglio vedere il valore d verità nei casi:

A) Per ogni x esiste un y P(x,y) e B) viceversa esiste un y per ogni x P(x,y)

Per il
2) mi risponderei dicendo che
2-A) vuol dire che per ogni essere umano x esiste un y (umano) tale che x è il padre di y: questo non è in generale vero perché sono un umano e non ho figli (quindi non sono padre).
2-B) Esiste almeno un y tale che che per ogni x si ha che x è il padre di y. Questo non riesco a renderlo in modo sensato: "esiste almeno un y tale che scegliendo tutti gli umani x uno ne è padre?" (mi confonde un po')

Però mi chiedo è corretto ragionare così? Come è conveniente rendere le frasi per capirene il senso? Non trovo un modo facile per impostare e mi sembra di ragionare in modo un po' naif.

Per 1)
1-A) Per ogni x esiste un y tale che x-y=5 è vero perché per ongi x che scelgo esiste almeno un y=x-5 il che è vero.
1-B) Esiste almeno un y per ogni x tale che x-y=5? Il fatto che qua mi sembra vero ed uguale a prima essite almeno un y tale che qualunque sia x vale x-y=5, basta che sia y=x-5 di nuovo.

Devo cercare di razionalizzare questi concetti che mi confondono un po'
Vi ringrazio.

[ghira1]

"maurioz":
2-B) Esiste almeno un y tale che che per ogni x si ha che x è il padre di y. Questo non riesco a renderlo in modo sensato: "esiste almeno un y tale che scegliendo tutti gli umani x uno ne è padre?" (mi confonde un po')

Esiste almeno un $y$ tale che ogni essere umano è suo padre.

[maurioz]

Molte grazie

perché io cercavo di mantenere la struttura per ogni esiste e poi solo dopo aggiungere P(x,y), invece posso riformulare scrivendo per ogni x esiste y cioè inframezzarli i quantificatori. Ho capito.

Invece per il punto 1) (la seconda parte del messaggio?) Secondo te dove mi sto incartando?

[ghira1]

"maurioz":
Invece per il punto 1) (la seconda parte del messaggio?) Secondo te dove mi sto incartando?

È esattamente lo stesso errore.

[maurioz]

Giusto, hai ragione: esiste almeno un y tale che per ogni x valga x-y=5, ma questo è falso poiché dato un y non è vero che per ongi x vale x-y=5.

Ma secondo te perché invece scrivendola così:

Esiste almeno un y per ogni x tale che x-y=5? Il fatto che qua mi sembra vero ed uguale a prima essite almeno un y tale che qualunque sia x vale x-y=5, basta che sia y=x-5 di nuovo

non regge? Alla fine ho scritto comunque esiste per ogni, ma il senso mi sembra diverso. In poche parole vedo la differenza ma non capisco perché SIA un errore. Vorrei razionalizzarlo.

[ghira1]

"maurioz":esiste almeno un y tale che qualunque sia x vale x-y=5, basta che sia y=x-5 di nuovo

Ma che dici? Non esiste alcun $y$ tale che $x-y$ sia sempre 5.

[maurioz]

No, certo,messa così no. Il fatto è che mi sembrava che riscritta cosi (nel mio quote) potessi leggerla come "esiste almeno un y tale che qualunque x sia dato vale x-y=5". Ossia che esiste l'y dato a priori l'x qualunque.

[ghira1]

"maurioz":No, certo,messa così no. Il fatto è che mi sembrava che riscritta cosi (nel mio quote) potessi leggerla come "esiste almeno un y tale che qualunque x sia dato vale x-y=5". Ossia che esiste l'y dato a priori l'x qualunque.

Che ti devo dire? Non fare così.

Esiste un $y$. Ah sì? Cos'ha di speciale? Per ogni $x$, $x-y=5$. Non ci credo.

Lo sai cosa vale per ogni $x$? No, cosa? Esiste un $y$ tale che $x-y=5$. Beh, sì, certo.

[cionilorenzo]

"maurioz":Ho un dubbio riguardo l'impossibilità di scambiare i quantificatori in logica.Mi confodno un po'

So che non posso scambiarli impunemente, tuttavia non capisco bene come convenda ragionare.

Mettiamo di avere l'enunciato aperto
1)P(x,y):"x-y=5"
2)P(x,y):"x è il padre di y"

Con insiemi di dfinizione reali e esseri umani nei due casi.

Voglio vedere il valore d verità nei casi:

A) Per ogni x esiste un y P(x,y) e B) viceversa esiste un y per ogni x P(x,y)

Per il
2) mi risponderei dicendo che
2-A) vuol dire che per ogni essere umano x esiste un y (umano) tale che x è il padre di y: questo non è in generale vero perché sono un umano e non ho figli (quindi non sono padre).
2-B) Esiste almeno un y tale che che per ogni x si ha che x è il padre di y. Questo non riesco a renderlo in modo sensato: "esiste almeno un y tale che scegliendo tutti gli umani x uno ne è padre?" (mi confonde un po')

Però mi chiedo è corretto ragionare così? Come è conveniente rendere le frasi per capirene il senso? Non trovo un modo facile per impostare e mi sembra di ragionare in modo un po' naif.

Per 1)
1-A) Per ogni x esiste un y tale che x-y=5 è vero perché per ongi x che scelgo esiste almeno un y=x-5 il che è vero.
1-B) Esiste almeno un y per ogni x tale che x-y=5? Il fatto che qua mi sembra vero ed uguale a prima essite almeno un y tale che qualunque sia x vale x-y=5, basta che sia y=x-5 di nuovo.

Devo cercare di razionalizzare questi concetti che mi confondono un po'
Vi ringrazio.

Guarda che le formulazioni "A) Per ogni x esiste un y P(x,y) e B) viceversa esiste un y per ogni x P(x,y)" sono identiche cambia solo l'ordine. Forse volevi scrivere per ogni $x$ esiste un $y$ e per ogni $y$ esiste un $x$ tale che "x è il padre di y". La seconda mi pare vera (ogni figlio ha un padre tranne forse Pinocchio per il quale ci sono dubbi ). La seconda non è sempre vera (come hai detto te).
L.