Domanda di base sulla teoria della misura: please urgente

[amel3]

Cito una piccola parte (tradotta, ovviamente) dal testo: Functional analysis for probability and stochastic processes, Bobrowski. C'è una questione che non mi è chiara.

Una funzione $mu$ che porta una famiglia $cc F$ di sottoinsiemi di $Omega$ in $[0, +oo]$ tale che:
$mu\ ( uuu_{n in NN} A_n)=sum_{n=1}^oo mu\ (A_n)$ $ \ \ \ \ $ (1.1)
per tutti gli insiemi $A_n, \ n in NN$ di $cc F$ tali che $(uuu_{n in NN} A_n)$ appartenga a $cc F$, è chiamata misura.
Nella maggior parte dei casi, $cc F$ è una $sigma$-algebra, ma ci sono importanti situazioni in cui non è così. [...]
Se $cc F$ è un'algebra e $mu\ (Omega)<+oo$, la proprietà (1.1), detta additività numerabile, è equivalente a:
$lim_{n->oo} mu\ (A_n)=0$ ogni qualvolta che $A_n in cc F$, $A_n sub A_(n+1)$, $nnn_{n =1}^{+oo} A_n =O/$.
Il lettore dovrebbe provarlo.

Non bisogna anche aggiungere una condizione in più, oltre a quest'ultima, affinchè ci sia un'equivalenza? Ad esempio, pensavo l'additività finita.
Dove posso trovare una dimostrazione di questo fatto?

Grazie a tutti coloro che leggeranno il mio post.

P.S.: Ci tengo molto soprattutto ad una risposta alla mia prima domanda, ma sarò iper-grato se qualcuno sarà in grado di rispondermi anche alla seconda domanda.

[Fioravante Patrone1]

"amel":
Non bisogna anche aggiungere una condizione in più, oltre a quest'ultima, affinchè ci sia un'equivalenza? Ad esempio, pensavo l'addittività finita.

butto giù due osservazioni su additività finita

Un'algebra è chiusa rispetto alle unioni finite. Quindi anche rispetto alla unione vuota. Pertanto l'insieme vuoto ci sta.
E quindi:
- additiv num implica misura del vuoto = 0 (se fosse >0 la serie divergerebbe...)
- e quindi se usi la additività num e ci piazzi tutti insiemi vuoti da un certo indice in poi, ottieni la additività finita

s.e.o.

[amel3]

grazie per la risposta! Quindi intanto la mia osservazione è giusta?

[Fioravante Patrone1]

se "la tua osservazione" riguarda la necessità di richiedere anche la additività finita, la risposta è no, in quanto essa è ottenibile dalle ipotesi fatte (tra cui: "$cc F$ è un'algebra")

[amel3]

è che è l'implicazione inversa (misura tendente a zero ecc ecc implica additività numerabile) che non ho capito come si fa a dimostrare

[amel3]

up

[amel3]

Mi rispondo da solo: ho trovato un testo (Billingsley, Probability and measure) che conferma le mie asserzioni.
E' chiaro, come sottolineato dal prof. Patrone, che l'implicazione:
additività numerabile $=>$ [size=150]{[/size] $lim_{n->oo} mu\ (A_n)=0$ ogni qualvolta che $A_n in cc F$, $A_n sub A_(n+1)$, $nnn_{n =1}^{+oo} A_n =O/ $[size=150]}[/size]
è valida in generale.
Per quanto riguarda il viceversa, però, si deve aggiungere l'additività finita:
additività finita [size=150]+[/size] [size=150]{[/size] $lim_{n->oo} mu\ (A_n)=0$ ogni qualvolta che $A_n in cc F$, $A_n sub A_(n+1)$, $nnn_{n =1}^{+oo} A_n =O/ $[size=150]}[/size] $=>$ additività numerabile

Ciao a tutti e grazie lo stesso.

[Fioravante Patrone1]

amel, mi spiace di non aver risposto al quesito "tecnico"

una precisazione, però (anche per chi legge):
tu ti chiedevi se non servisse l'additività finita
io non ho detto che non serve
ho solo osservato che discendeva dalle ipotesi che tu avevi elencato!
vedi:
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 308#146308

ciao

[amel3]

"Fioravante Patrone":
tu ti chiedevi se non servisse l'additività finita
io non ho detto che non serve

Sì cioè la risposta era solo su una implicazione, in pratica, ma non su quella opposta, ok!

P.S.: Hai ragione, non si dice addittivo... credevo si potesse scrivere in entrambi i modi. Ora correggo. Grazie per la segnalazione, non c'era bisogno di scrivermi in privato, non mi vergogno, anzi se uno corregge i miei errori mi fa piacere (la battutaccia però faceva pena, quasi come quelle che faccio io ... scherzo ovviamente)

Grazie comunque per la risposta!

Passo e chiudo