Domanda circa l'irriducibilità di un polinomio in Q[x] ....

[menale1]

Sia dato in Q[x] il polinomio $ (x)^(5)+(x)^(4)+(x)^(3)+(x)^(2)+ x +5 $ : esso è riducibile in Q[x] ? Purtroppo non è applicabile Eisenstein ne alcuno dei criteri che verta sulla ricerca di qualche peculiare numero primo , data la presenza dei tanti "1" . Cosa mi suggerite di fare ? Saluti

[Paolo902]

Raccogli la $x$.

[menale1]

Chiedo scusa , Paolo , ma ho mancato una cosa xD +5 finale . Chiedo ancora scusa per la mancanza !

[Antimius]

Intanto, puoi provare che non esistono radici in [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] di quel polinomio. Quindi, se esso si fattorizzasse, avrebbe un fattore quadratico e uno cubico.
Non so, magari scrivendo [tex]$p(x)=(x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+e)$[/tex] e sfruttando il principio di identità dei polinomi, trovi che i coefficienti non sono razionali. Non ho controllato però che sistema ti uscirà fuori

[mistake89]

Il metodo di antimus è corretto. Però diventa più utile osservare che i coefficienti puoi prendi in $ZZ$

Potresti anche provare la riduzione modulo $p$. Se sei fortunato provata l'irriducibilità lì sei a cavallo.

[maurer]

Lascio il primo lemma perché è corretto indipendentemente dal seguito...

Lemma 1.Sia [tex]k[/tex] un campo e supponiamo che [tex]F,G \in k[X_1, \ldots, X_n][/tex] siano polinomi omogenei rispettivamente di grado [tex]r[/tex] ed [tex]r+1[/tex] senza fattori in comune. Allora [tex]F + G[/tex] è irriducibile.

Proof. Siano
[tex]\displaystyle A = \sum_{d = d_m}^{d_M} a_d, \quad B = \sum_{h = h_m}^{h_M} b_h[/tex]
dove [tex]a_d[/tex] e [tex]b_h[/tex] sono polinomi omogenei di gradi rispettivamente [tex]d[/tex] e [tex]h[/tex]. Allora
[tex]\displaystyle AB = \sum_{l = d_m + h_m}^{d_M + h_M} c_l[/tex]
dove [tex]c_l[/tex] è un polinomio omogeneo di grado [tex]l[/tex]. Supponiamo che si abbia [tex]AB = F + G[/tex]. Necessariamente otteniamo il sistema:
[tex]\displaystyle
\begin{cases}
d_m + h_m = r \\
d_M + h_M = r+1
\end{cases}[/tex]
Se fosse [tex]d_M > d_m[/tex] e [tex]h_M > h_m[/tex] allora [tex]d_M + h_M \ge d_m + h_m + 2 = r+2[/tex], il che è assurdo. Quindi almeno uno dei due polinomi [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] deve essere omogeneo. Supponiamo ad esempio che [tex]A[/tex] sia omogeneo. Posto [tex]h_M - h_m = c[/tex], una semplice riflessione garantisce che il prodotto [tex]AB[/tex] è formato dalla somma di esattamente [tex]c[/tex] polinomi omogenei. Concludiamo che [tex]c = 2[/tex] e quindi [tex]B = b_{d_m} + b_{d_M}[/tex]. Seguirebbe
[tex]\displaystyle
AB = A b_{d_m} + A b_{d_M} = F + G[/tex]
da cui forzatamente (per il principio di identità dei polinomi) [tex]F = A b_{d_m}[/tex] e [tex]G = A b_{d_M}[/tex].
Ma allora [tex]A \mid F[/tex] e [tex]A \mid G[/tex], il che è assurdo a meno di ammettere che [tex]A[/tex] sia una costante (per l'ipotesi inizialmente assunta). Segue che [tex]F + G[/tex] è irriducibile. [tex]\square[/tex]

Lemma 2. Sia [tex]k[/tex] un campo, sia [tex]F \in k[X_1, \ldots, X_n][/tex] un polinomio omogeneo. Poniamo [tex]F_*(X_1, \ldots, X_{n-1}) := F(X_1, \ldots, X_{n-1},1)[/tex]. Allora, supposto che [tex]X_n \nmid F[/tex], si ha che [tex]F[/tex] è irriducibile se e solo se lo è [tex]F_*[/tex].

Metto in spoiler perché contiene errori...

Lemma 3. Sia [tex]k[/tex] un campo, siano [tex]f(X), g(X)[/tex] due polinomi irriducibili senza fattori comuni tali che inoltre [tex]\deg(f(X)) = \deg(g(X)) + 1[/tex]. Allora [tex]f(X) + g(X)[/tex] è irriducibile.
Proof. Omogeneizziamo [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex] separatamente e denotiamo con [tex]F[/tex] e [tex]G[/tex] i polinomi in due variabili così ottenuti. Allora il Lemma 2 assicura che [tex]F[/tex] e [tex]G[/tex] continuino ad essere irriducibili ed a non avere fattori in comune. Inoltre [tex]\deg(F) = \deg(G) + 1[/tex]. Il Lemma 1 implica allora che [tex]F + G[/tex] sia irriducibile e, siccome [tex](F+G)_* = F_* + G_* = f+g[/tex], una nuova applicazione del Lemma 2 consente di concludere. [tex]\square[/tex].

Come applicare questi bei lemmi al nostro problema: scriviamo [tex]f(X) = X^5 + 4[/tex] e [tex]g(X) = 1 + X + X^2 + X^3 + X^4[/tex]. Allora il polinomio che ci interessa è [tex]f(X) + g(X)[/tex] e certamente [tex]g(X)[/tex] è irriducibile su [tex]\mathbb Q[/tex] (è il quinto polinomio ciclotomico!). I discorsi appena fatti ci dicono che per concludere è sufficiente dimostrare l'irriducibilità di [tex]f(X)[/tex]: ultima tappa! Sostituiamo [tex]X = Y+1[/tex] e facciamo i conti [tex]f(Y+1) = Y^5 + 5 Y^4 + 10 Y^3 + 10 Y^2 + 5 Y + 5[/tex] e adesso, meraviglia!, possiamo applicare Eisenstein per concludere l'irriducibilità di [tex]f(Y+1)[/tex], da cui deduciamo bellamente quella di [tex]f(X)[/tex]. Il Lemma 3 consente allora di concludere. Voilà!

[maurer]

C'erano un bel po' di errori...

[menale1]

Grazie mille ,Maurer !

[maurer]

No, però aspetta... mi sono appena accorto di un erroraccio... temo che non se ne possa fare più nulla... Il lemma 3 non è valido... [tex](x^2 + 1) + (x-1) = x^2 + x[/tex]...

[menale1]

Resterà lì smorto quel polinomio , ad attendere la fine dei tempi !

[menale1]

Resterà lì smorto quel polinomio , ad attendere la fine dei tempi !

[Mrhaha]

Complicatuccio!

[mistake89]

Provato a fare una riduzione modulo $p$?
Sicuro con $p=3$ non hai radici, ti basta risolvere il sistemino.

[Mrhaha]

Se lo scrivi come prodotto di due generici polinomi uno di grado uno e l'altro di grado tre?

[maurer]

Un mio caro amico mi ha illuminato al riguardo mostrandomi criteri di irriducibilità che non pensavo potessero esistere. Si basano, di fatto, sui poligoni di Newton.

Prendiamo un polinomio [tex]f(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n[/tex] e fissiamo un numero primo [tex]p \in \mathbb Z[/tex] (in realtà si può fare su campi qualsiasi e, anzi, è proprio per avere questa generalità che si introducono queste idee, ma pazienza). Per ogni [tex]i = 0, 1, \ldots, n[/tex] definiamo [tex]\alpha_i[/tex] come il massimo intero positivo per cui [tex]p^{\alpha_i} \mid a_i[/tex] e non definiamo [tex]\alpha_i[/tex] se [tex]a_i = 0[/tex]. Consideriamo poi i punti [tex](0, \alpha_0), (1, \alpha_1), \ldots, (n, \alpha_n)[/tex] e ne formiamo l'inviluppo convesso in [tex]\mathbb R^2[/tex]. Denotiamo questo insieme come [tex]P_f[/tex] e lo chiamiamo poligono di Newton associato a [tex]f[/tex].

Lemma (Ostrowski). Se [tex]f = gh[/tex] allora [tex]P_f = P_g + P_h[/tex], dove se [tex]A, B \subset \mathbb R^2[/tex] definiamo al solito [tex]A + B := \{\mathbf a + \mathbf b, \mathbf a \in A, \mathbf b \in B\}[/tex].

Ora, prendiamo [tex]f = p + x + \ldots + x^p[/tex]. Il poligono di Newton di questo polinomio (relativo a p) è il poligono di vertici [tex](0,1)[/tex], [tex](1,0)[/tex], [tex](p,0)[/tex]. Il problema si ridurrebbe a dimostrare che questo poligono non è decomponibile nella somma di altri due poligoni i cui vertici abbiano coordinate intere positive. Ecco, ho appena trovato un teorema che dice che questo è vero, nelle nostre ipotesi.

Quindi abbiamo l'irriducibilità! Evviva!

P.S. Ho trovato un articolo cercando "polytope shuhong gao pdf" con google. Non posso linkarvi la pagina perché quando la apro fa solo partire il download.