Domanda banalissima sottoanelli.
La proposizione è questa
Sia $A$ un anello unitario. $B$ un sotto anello di $A$ tale che $1 in B$ allora $U(B)$ è un sottogruppo di $U(A)$
Non ho capito molto bene tale proposizione, nel senso che se $A$ è unitario, le ipotesi ci dicono che $1 in B$ ma tale $1$ è l'elemento neutro di $A$? Quindi praticamente deve accadere che $1_A = 1_B$? cosa che in generale non accade.
Ma se $1_A!=1_B$ allora non vale tale proposizione, oppure sì?
Non riesco a trovare controesempi, spero di essermi bene spiegato..
Sia $A$ un anello unitario. $B$ un sotto anello di $A$ tale che $1 in B$ allora $U(B)$ è un sottogruppo di $U(A)$
Non ho capito molto bene tale proposizione, nel senso che se $A$ è unitario, le ipotesi ci dicono che $1 in B$ ma tale $1$ è l'elemento neutro di $A$? Quindi praticamente deve accadere che $1_A = 1_B$? cosa che in generale non accade.
Ma se $1_A!=1_B$ allora non vale tale proposizione, oppure sì?
Non riesco a trovare controesempi, spero di essermi bene spiegato..
Risposte
Se [tex]B[/tex] è un sottoanello unitario allora [tex]1_B=1_A[/tex]. In altre parole non può essere [tex]1_A \neq 1_B[/tex] se [tex]B[/tex] è un sottoanello unitario. Se [tex]1_A \not \in B[/tex] allora [tex]B[/tex] è un sottoanello non unitario. Di solito se un anello non è unitario la cosa è ben specificata e messa in chiaro.
Allora c'è un difetto di fondo. Forse chiamo di malo modo le cose.
Prrendiamo l'anello $M_n(A)={((a,b),(c,d))|a,b,c,d in A}$ tale anello è unitario (con l'ordinaria somma e prodotto tra matrici). e l'unità è data da $((1,0),(0,1))$
prendiamo ora $B={((a,0),(0,0))|a in A}$ di verifica facilmente che è un sotto anello di $M_n(A)$ , possiede un elemento neutro del prodotto ed è $1_B=((1,0),(0,0))$
Ma $1_A!=1_B$. Quindi , $B$ può avere unità, ma si dice unitario se e solo se $1_A=1_B$?!
Prrendiamo l'anello $M_n(A)={((a,b),(c,d))|a,b,c,d in A}$ tale anello è unitario (con l'ordinaria somma e prodotto tra matrici). e l'unità è data da $((1,0),(0,1))$
prendiamo ora $B={((a,0),(0,0))|a in A}$ di verifica facilmente che è un sotto anello di $M_n(A)$ , possiede un elemento neutro del prodotto ed è $1_B=((1,0),(0,0))$
Ma $1_A!=1_B$. Quindi , $B$ può avere unità, ma si dice unitario se e solo se $1_A=1_B$?!
"Martino":
In altre parole non può essere [tex]1_A \neq 1_B[/tex] se [tex]B[/tex] è un sottoanello unitario.
Aggiungo i miei dubbi a quelli di Kashaman. Siano $R$ e $S$ anelli unitari con le ripettive unità $1_R$ e $1_S$. Allora l'anello prodotto $R xx S$ ha unità $(1_R,1_S)$ ma il sottoanello $R xx {0}$ ha unità $(1_R,0)$. Cosa mi sono perso?
Ciao perplesso, finalmente per una volta forse non in grado di risponderti io! (spero)
L'anello banale ${0}$ è l'unico anello tale che $0=1$ e cioè $0+0=0$ e $0*0=0$.
Di conseguenza ${0}$ è effettivamente unitario. ed ha come unità $0$
Preso $R$ con unità $1_R$ e ${0}$ con unità $0$
$R\times{0}={(a,0) | a in R,0 in {0}}$. ed $(1_r,0)$ è effettivamente l'unità del prodotto diretto.
Infatti $AA (a,0) in R\times{0} : (a,0)(1_R,0)=(a*1_R,0*0)=(1_r)(a,0)$.
Sei d'accordo?
L'anello banale ${0}$ è l'unico anello tale che $0=1$ e cioè $0+0=0$ e $0*0=0$.
Di conseguenza ${0}$ è effettivamente unitario. ed ha come unità $0$
Preso $R$ con unità $1_R$ e ${0}$ con unità $0$
$R\times{0}={(a,0) | a in R,0 in {0}}$. ed $(1_r,0)$ è effettivamente l'unità del prodotto diretto.
Infatti $AA (a,0) in R\times{0} : (a,0)(1_R,0)=(a*1_R,0*0)=(1_r)(a,0)$.
Sei d'accordo?
"Kashaman":
$(1_r,0)$ è effettivamente l'unità del prodotto diretto.
Io per $R xx {0}$ intendo il sottoanello di $R xx S$ formato da tutte le coppie $(x, 0_S)$ con $x \in R$. Se $S$ non è degenere hai $0_S \ne 1_S$ e quindi $(1_R,0_S) \ne (1_R,1_S)$. Quindi non sono daccordo oppure non ho capito... cmq grazie della risposta!
Ok, la questione è più intricata di quello che pensavo 
Comunque vi assicuro che nell'ambito degli anelli unitari un sottoanello per definizione condivide sempre l'elemento neutro dell'anello grande. Effettivamente, questo può essere un punto oscuro in molti testi. Non ci avevo mai pensato.
Comunque vi assicuro che nell'ambito degli anelli unitari un sottoanello per definizione condivide sempre l'elemento neutro dell'anello grande. Effettivamente, questo può essere un punto oscuro in molti testi. Non ci avevo mai pensato.
"Martino":
Ok, la questione è più intricata di quello che pensavo
Comunque vi assicuro che nell'ambito degli anelli unitari un sottoanello per definizione condivide sempre l'elemento neutro dell'anello grande. Effettivamente, questo può essere un punto oscuro in molti testi. Non ci avevo mai pensato.
Grazie Martino, a questo punto, per dare un senso alla proposizione do per scontato che l'unità di $A$ appartiene a $B$ altrimenti non potrei dire che $U(B)
EDIT : il fatto che $1_B in U(A)$ deriva dal fatto che se $1_B$ è invertibile in $B$ lo è anche in $A$
Magari non interessa, cmq vale quanto segue...
Se $1_B \ne 1_A$ allora $1_B$ è un divisore dello zero di $A$ Dimostrazione: http://planetmath.org/UnityOfSubring.html Questo implica che se l'anello $A$ è integro allora $1_B = 1_A$ senza dubbio. Che bello.
Se $1_B \ne 1_A$ allora $1_B$ è un divisore dello zero di $A$ Dimostrazione: http://planetmath.org/UnityOfSubring.html Questo implica che se l'anello $A$ è integro allora $1_B = 1_A$ senza dubbio. Che bello.
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