Domanda banale sulle conseguenze del Teorema di Sylow.
Salve a tutti, avrei una domanda piuttosto banale da porvi.
Avendo un gruppo G di un certo ordine. Ad esempio |G|=28. Allora G contiene 7-Sylow e 2-Sylow. Trovo che esiste un unico 7-Sylow e che esistono sette 2-Sylow. La mia domanda è: in generale avendo un certo numero di p-Sylow con p fissato, posso dire che la loro intersezione sarà sempre e comunque la sola identità?
Grazie a tutti.
Avendo un gruppo G di un certo ordine. Ad esempio |G|=28. Allora G contiene 7-Sylow e 2-Sylow. Trovo che esiste un unico 7-Sylow e che esistono sette 2-Sylow. La mia domanda è: in generale avendo un certo numero di p-Sylow con p fissato, posso dire che la loro intersezione sarà sempre e comunque la sola identità?
Grazie a tutti.
Risposte
E' un po' che non vedo queste cose, però secondo me così su due piedi non puoi dirlo.
O meglio, puoi dirlo solo nel caso in cui tu sappia i $p$-Sylow abbiano proprio ordine $p$ (in tal caso, presi due p-Sylow distinti l'intersezione - dovendo avere ordine che divide $p$, in quanto sottogruppo - è necessariamente banale). Se però i $p$-Sylow hanno ordine $p^{\alpha}$ l'intersezione può avere ordine $p^{\beta}$, con $beta \in {0,1, \ldots, \alpha}$. Credo...
Come ti ho già detto, è un po' che non faccio queste cose, spero di non aver preso abbagli
O meglio, puoi dirlo solo nel caso in cui tu sappia i $p$-Sylow abbiano proprio ordine $p$ (in tal caso, presi due p-Sylow distinti l'intersezione - dovendo avere ordine che divide $p$, in quanto sottogruppo - è necessariamente banale). Se però i $p$-Sylow hanno ordine $p^{\alpha}$ l'intersezione può avere ordine $p^{\beta}$, con $beta \in {0,1, \ldots, \alpha}$. Credo...
Come ti ho già detto, è un po' che non faccio queste cose, spero di non aver preso abbagli
Grazie mille della risposta 
. Per avere la conferma, attenderò la risposta di qualcun altro 
. Per avere la conferma, attenderò la risposta di qualcun altro
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