Domanda banale sulla razionalizzazione

[weblan]

Sappiamo benissimo che alle scuole superiori operando con i radicali si condividono le solite regole relative alla razionalizzazione. Non mi voglio imbattere in cose complicate e la domanda potrebbe anche essere più generale, voglio restare basso nella richiesta. Ho un'espressione del seguente tipo:

$$\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11}}$$

si riesce a razionalizzare?

Con 2, 3, 4 si fa e come sopra?

[pilloeffe]

Ciao weblan,

"weblan":si riesce a razionalizzare?

Sì, impazzendo di calcoli...

[weblan]

Ho aggiungo un altro radicale quadratico a denominatore e il calcolo è stato abbandonato da WolframAlpha.

La domanda è di natura teorica:

Una somma di $n$ radicali quadratici si razionalizza?

[axpgn]

Basta che paghi, Wolfram ti calcola tutto quello che vuoi

Sì, che si razionalizza. Perché?

[weblan]

"axpgn":Basta che paghi, Wolfram ti calcola tutto quello che vuoi

Sì, che si razionalizza. Perché?

Motivazione!

Non voglio affrontare il calcolo, ma seguire il ragionamento logico.

In generale ho una somma algebrica di radicali:

$\frac{1}{a_1^{\frac{m_1}{n_1}}+a_2^{\frac{m_2}{n_2}}+\cdots+a_k^{\frac{m_k}{n_k}}}$

[axpgn]

No, hai detto "quadratici", non generici ...

[axpgn]

Comunque ... $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

[weblan]

Vediamo i quadratici, poi ci poniamo il problema di una generica espressione. La domanda è semplice, ci vuole una tecnica iterativa e convinca che dopo $n$ passaggi si abbia un razionale a denominatore.

[weblan]

Nella mia testa se ho una espressione del tipo $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11}}$

Utilizzo $(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})-(\sqrt{7}+\sqrt{11})$, dopo un primo passaggio mi ritrovo di nuovo con quattro radicali e mi viene difficile procedere con una logica che porti al risultato desiderato.

[weblan]

A questo punto utilizzando Wolfram la cosa si è chiarita. Una espressione con una somma algebrica è sempre razionalizzabile! L'idea viene da polinomio che ammette come radice il denominatore dell'espressione.

[hydro1]

"weblan":[quote="axpgn"]Basta che paghi, Wolfram ti calcola tutto quello che vuoi

Sì, che si razionalizza. Perché?

Motivazione!

Non voglio affrontare il calcolo, ma seguire il ragionamento logico.

In generale ho una somma algebrica di radicali:

$\frac{1}{a_1^{\frac{m_1}{n_1}}+a_2^{\frac{m_2}{n_2}}+\cdots+a_k^{\frac{m_k}{n_k}}}$[/quote]

Tutte le espressioni di quella forma si possono razionalizzare, ma anche molto più in generale quando hai $\frac{1}{\alpha}$ con $\alpha$ algebrico su $\mathbb Q$ puoi farlo. Questo è un fatto classico (ed elementare) della teoria algebrica dei numeri: quando $\alpha$ è algebrico su $\mathbb Q$, allora \(\alpha=\alpha'/d\) con $\alpha'$ intero algebrico e $d$ intero. E' semplice vedere il perchè: chiama $K=\mathbb Q(\alpha)$ e pensalo immerso in $\mathbb C$. Supponi che $\alpha=\beta/\gamma$, con $\beta,\gamma$ interi algebrici (puoi sempre farlo perchè $K$ è il campo delle frazioni del suo anello degli interi algebrici). Adesso la norma di $\gamma$ è un intero $d$, ed è anche uguale a $\prod_{\sigma: K \to \mathbb C}\sigma(\gamma)$. Il che significa che puoi scrivere \(\alpha=\frac{\beta}{\gamma}=\frac{\beta\cdot\prod_{\sigma\ne id}\sigma(\gamma)}{d}\), e il numeratore è un intero algebrico.

Nota che questa è esattamente la cosa che fai quando razionalizzi espressioni tipo \(\frac{1}{1+\sqrt{2}}\) moltiplicando sopra e sotto per $1-\sqrt{2}$, perchè la norma di $1+\sqrt{2}$ è $(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})$.

[weblan]

"hydro":[quote="weblan"][quote="axpgn"]Basta che paghi, Wolfram ti calcola tutto quello che vuoi

Sì, che si razionalizza. Perché?

Motivazione!

Non voglio affrontare il calcolo, ma seguire il ragionamento logico.

In generale ho una somma algebrica di radicali:

$\frac{1}{a_1^{\frac{m_1}{n_1}}+a_2^{\frac{m_2}{n_2}}+\cdots+a_k^{\frac{m_k}{n_k}}}$[/quote]

Tutte le espressioni di quella forma si possono razionalizzare, ma anche molto più in generale quando hai $\frac{1}{\alpha}$ con $\alpha$ algebrico su $\mathbb Q$ puoi farlo. Questo è un fatto classico (ed elementare) della teoria algebrica dei numeri: quando $\alpha$ è algebrico su $\mathbb Q$, allora \(\alpha=\alpha'/d\) con $\alpha'$ intero algebrico e $d$ intero. E' semplice vedere il perchè: chiama $K=\mathbb Q(\alpha)$ e pensalo immerso in $\mathbb C$. Supponi che $\alpha=\beta/\gamma$, con $\beta,\gamma$ interi algebrici (puoi sempre farlo perchè $K$ è il campo delle frazioni del suo anello degli interi algebrici). Adesso la norma di $\gamma$ è un intero $d$, ed è anche uguale a $\prod_{\sigma: K \to \mathbb C}\sigma(\gamma)$. Il che significa che puoi scrivere \(\alpha=\frac{\beta}{\gamma}=\frac{\beta\cdot\prod_{\sigma\ne id}\sigma(\gamma)}{d}\), e il numeratore è un intero algebrico.

Nota che questa è esattamente la cosa che fai quando razionalizzi espressioni tipo \(\frac{1}{1+\sqrt{2}}\) moltiplicando sopra e sotto per $1-\sqrt{2}$, perchè la norma di $1+\sqrt{2}$ è $(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})$.[/quote]

Ho risolto facendo la semplice osservazione che l'insieme dei numeri algebrici è un campo, ma serve molto di meno e le cose sono molto chiare.

Grazie comunque!

[@melia]

Lo so che sono un po' fuori tempo massimo, ma per completezza su questa razionalizzazione di
$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{11}}$
conviene moltiplicare per
$(\sqrt{2}+\sqrt{7}+\sqrt{5})-(\sqrt{3}+\sqrt{11})$
perché? In questo modo, dopo il primo passaggio, rimangono sì 4 radicali, ma non ci sono altri addendi. Accoppiandoli a due a due si rimane con un addendo intero e due radici. E questa hai detto che la sai razionalizzare.