Divizione euclidea tra polinomi

[Ninphyl1]

Ragazzi ho un problema, non riesco a fare un esercizio...
TRACCIA:
Trovare il quozioente e il resto, in $Z_3[x] $ della divizione euclidea del polinomio $ f= x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ per il polinomio g= 2x^2 +1$ .
Sono riuscita a fare le divisioni in R e Q.. ma in $Z_m$ non ci riesco... Potreste spiegarmi come devo ragionare?

[j18eos]

Devi mimare la divisione tra polinomi in [tex]\mathbb{R}[/tex] tenendo conto dell'essere in [tex]\matbhbb{Z}_3[/tex].

Se non hai capito ti trascrivo i primi passaggi.

[Ninphyl1]

si magari se mi accenni qualcosa almeno comprendo di cosa si tratta... ti ringrazio!

[j18eos]

Stai calcolando in [tex]\mathbb{Z}_3,\,x^4+x^3+x^2+x+1:2x^2+1[/tex] allora "abbassi" [tex]x^4[/tex] ed hai che [tex]2x^2\cdot(2x^2+1)=4x^4+2x^2=x^4+2x^2[/tex] cosicché [tex]x^4+x^3+x^2+x+1-x^4-2x^2=x^3-x^2+x+1=x^3+2x^2+x+1[/tex], per determinare il termine successivo del polinomio quoziente deve dividere quest'ultimo polinomio col binomio dato ricordandoti che [tex]2x^2[/tex] è il termine di II grado del polinomio quoziente.

Purtroppo fa schifo a dirlo ed a scriverlo , non sono alla lavagna e non posso essere più chiaro di così ; ti ripeto che alla fine mimi la divisione tra numeri reali o tra polinomi a coefficienti reali.

[Ninphyl1]

Ci sono riuscita... Almeno credo ^^
Il quoziente dovrebbe essere $q=2x^2 +2x-2$ ed il resto $r=-x-1$ ... Corretto? *____*

[j18eos]

Devi fare [tex](2x^2+2x-2)\cdot(2x^2+1)+(-x-1)[/tex] in [tex]\mathbb{Z}_3[x][/tex] ovvero la verifica, se ritrovassi il polinomio [tex]x^4+x^3+x^2+1[/tex] avresti fatto bene; è sabato e non vorrei scrivere scemenze (già né ho scritte troppe in questi giorni)!

Come gradi stiamo in accordo con il teorema della divisione (euclidea; dico bene?) tra polinomi.