Divisori monici
Ciao! Come posso dimostrare che se un polinomio $f in K[x]$ di grado 5 su un campo K e' riducibile e non ha zeri, allora possiede un divisore monico irriducibile di secondo grado? Grazie vi prego aiutatemi!!
Risposte
Se $f$ è riducibile allora $EE g,h in K[x]$ tali che $f(x)=g(x)*h(x)$,
Chiamiamo $d_g$ il grado di $g(x)$, $d_h$ il grado di $h(x)$
Cosa possiamo dire?
Per prima cosa si deve avere che ${\(d_g+d_h=5),(d_g>=1),(d_h>=1):}$
Quindi $d_g,d_h in {1,2,3,4}$
Riesci ad andare avanti e a mostrare che uno tra $d_g$ e $d_h$deve essere esattamente $2$?
Aiutino: devi sfruttare il fatto che $f$ non ha zeri
Chiamiamo $d_g$ il grado di $g(x)$, $d_h$ il grado di $h(x)$
Cosa possiamo dire?
Per prima cosa si deve avere che ${\(d_g+d_h=5),(d_g>=1),(d_h>=1):}$
Quindi $d_g,d_h in {1,2,3,4}$
Riesci ad andare avanti e a mostrare che uno tra $d_g$ e $d_h$deve essere esattamente $2$?
Aiutino: devi sfruttare il fatto che $f$ non ha zeri
le possibilita' sono :
-grado 1 e grado 4: un polinomio di grado 1 e' sempre irriducibile e ammette uno zero, ma f non ammette zeri quindi nemmeno g e h e questa opzione va scartata
-grado 2 e grado 3: un polinomio di grado 2 e 3 e' irriducibile se e solo se non ammette zeri, come per ipotesi.
e' giusto? ora come dimostrare che il polinomio di grado 2 e' anche monico?
-grado 1 e grado 4: un polinomio di grado 1 e' sempre irriducibile e ammette uno zero, ma f non ammette zeri quindi nemmeno g e h e questa opzione va scartata
-grado 2 e grado 3: un polinomio di grado 2 e 3 e' irriducibile se e solo se non ammette zeri, come per ipotesi.
e' giusto? ora come dimostrare che il polinomio di grado 2 e' anche monico?
Molto bene.
Allora sappiamo che esistono $g(x)$ di secondo grado e $h(x)$ di terzo grado tali che $f(x)=g(x)*h(x)$
Ci si chiede se il polinomio di secondo grado possa essere monico.
$g(x)=ax^2+bx+c$, con $a,b,c in K$. Ci sono due possibilità:
1) $a=1_K$, (cioè il polinomio è già monico). Allora abbiamo già finito
2) $a!=1_K$. Allora, poichè $a in K$ e $K$ è un campo, $EE a^(-1)$
Pertanto ..... sai andare avanti?
Allora sappiamo che esistono $g(x)$ di secondo grado e $h(x)$ di terzo grado tali che $f(x)=g(x)*h(x)$
Ci si chiede se il polinomio di secondo grado possa essere monico.
$g(x)=ax^2+bx+c$, con $a,b,c in K$. Ci sono due possibilità:
1) $a=1_K$, (cioè il polinomio è già monico). Allora abbiamo già finito
2) $a!=1_K$. Allora, poichè $a in K$ e $K$ è un campo, $EE a^(-1)$
Pertanto ..... sai andare avanti?
ehm...pertanto posso dividere i coefficienti di $g(x)$ per $a^-1$ e ottengo cosi' che il coefficiente direttivo e' 1 e quindi il polinomio e' monico? 
Più che dividere, moltiplicare.
$f(x)=g(x)*h(x)=(1_k)*g(x)*h(x)=a*a^(-1)*g(x)*h(x)=(a^(-1)*g(x))*(a*h(x))$
Posti $g_1(x):=a^(-1)*g(x)$ e $h_1(x):=a*h(x)$ hai che
$f(x)=g_1(x)*h_1(x)$, con $g_1(x)$ polinomio monico di grado $2$
$f(x)=g(x)*h(x)=(1_k)*g(x)*h(x)=a*a^(-1)*g(x)*h(x)=(a^(-1)*g(x))*(a*h(x))$
Posti $g_1(x):=a^(-1)*g(x)$ e $h_1(x):=a*h(x)$ hai che
$f(x)=g_1(x)*h_1(x)$, con $g_1(x)$ polinomio monico di grado $2$
ok grazie mille!!! 
Prego, figurati 
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