Divisori dello zero e unitàZ/24

[gnappo90]

calcolare divisori dello zero e invertibiliZ/24.


Ditemi se sbaglio:
Divisore dello zero= SIa a appartenenete a Z è divisore dello zero a diverso da 0 se esite un b appartenete a Z diverso da 0 tc a*b=0

quindi dovrebbero essere:
[3]*[8]=[24]=[0]
[8]*[3]=[24]=[0]
[2]*[12]=[24]=[0]
[12]*[2]=[24]=[0]
[6]*[4]=[24]=[0]
[4]*[6]=[24]=[0]


Unità dello zero= SIa a appartenenete a Z a , b appartenete a Z tc a*b=1
quindi:
[5]*[5]=[25]=[1]


va bene ??

[gundamrx91-votailprof]

Per la prima parte dovrebbe essere giusto (non ho controllato direttamente), ma per la seconda parte gli elementi invertibili di $ZZ_24$ non dovrebbero essere in numero di $phi(24)=8$ ?

[gnappo90]

non saprei....io ho applicato alla lettera la definizione di unità...gli unici 2 numeri che moltiplicati tra di loro che mi danno 25 sono [5]*[5]...

c'è qualcun'altro che ci puo' aiutare?

[maurer]

Ha ragione GundamRX91 a priori da quello che hai scritto tu... adesso leggo.
Infatti, è sbagliato. Le unità sono tutti i numeri coprimi con [tex]24[/tex] minori di [tex]24[/tex]. Ad esempio, [tex]7[/tex] è un'unità. Infatti [tex]7 \cdot 7 = 49 \equiv 1 \pmod{24}[/tex]. Inoltre, osserva che in generale, se [tex]m \in (\mathbb Z / n \mathbb Z)^\times[/tex] allora [tex]n - m \in (\mathbb Z / n \mathbb Z)^\times[/tex] (quindi [tex]19 = 24 - 5[/tex] e [tex]17 = 24 - 7[/tex] sono unità).

Peraltro, potreste utilizzare questa osservazione scema per dimostrare la simpatica identità [tex]\sum_{(m,n) = 1, \: m < n} m = \frac{n\varphi(n)}{2}[/tex]...

[gnappo90]

quindi le unità sarebbero tutti gli elementi coprimi con 24...cioè 1,5,7,11,13,17,19,23

[maurer]

Sì.
Anche se ho un po' paura a chiederlo: ti è assolutamente chiaro il perché? Cioè, lo sapresti dimostrare nel sonno?