Divisori dello zero e nilpotenti

[kekkomengoli95]

Salve, come potrei dimostrare che se un primo divide un divisore dello zero allora questo primo divide un nilpotente? Grazie mille

[Reyzet]

Credo sia vero, infatti sia $A$ anello commutativo (non l'hai detto ma penso sia così, ma forse non serve nemmeno), $p$ primo e $a$ divisore dello zero, cioè $ab=0$ per qualche $b\inA$, ora dal fatto che p divide a, divide pure lo zero perché si ha $a=pc$ per qualche c, e allora $0=p(bc)$, adesso se $d$ è nilpotente esiste $N$ tale che $d^N=0=p(bc)$, p divide il membro di destra e allora divide pure $d^N$, adesso usa il fatto che è primo e hai finito.

[Stickelberger]

"kekkomengoli95":allora questo primo divide un nilpotente

Lo zero e' nilpotente e quindi l'affermazione e' banale.
Se invece intendi un nilpotente non nullo, allora e' falsa:
$\overline{2}$ e' sia primo che divisore dello zero di $ZZ//6ZZ$,
ma l'unico nilpotente e' $\overline{0}$.