Divisori del discriminante inessenziale

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Nella dimostrazione di un certo teorema c'è un passaggio che non capisco che è il seguente. Sia \(K\) un campo cubico. Il passaggio che non capisco è il seguente:
Chiaramente abbiamo che \(3\) non può essere un divisore del discriminante inessenziale (non sono sicuro si traduca cosa: "cannot be an inessential discriminant divisor")... bla bla
io non capisco perché non può esserlo...


Un numero primo \(p\) è detto un divisore del discriminante inessenziale se per ogni \( \alpha \in K \) abbiamo che \(p \) divide \( [\mathcal{O}_K : \mathbb{Z}[\alpha] ] \).

Ora chiaramente abbiamo che se \(K\) è monogenica per definizione esiste \( \alpha \) tale che \( \mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\alpha] \) e chiaramente \(3\) non divide \(1\), ma nel caso in cui \( K \) non è monogenico??

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Apparentemente c'è un teorema di Dedekind su questa cosa, che afferma appunto che gli unici divisori di discriminanti inessenziali sono o 1 oppure 2 per il caso di un campo cubico. Qualcuno saprebbe dove potrei trovarlo?

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"3m0o":Apparentemente c'è un teorema di Dedekind su questa cosa, che afferma appunto che gli unici divisori di discriminanti inessenziali sono o 1 oppure 2 per il caso di un campo cubico. Qualcuno saprebbe dove potrei trovarlo?

Dedekind dice:
Se fosse corretto che si può sempre trovare per ogni \(p\) un \(\alpha \) tale che \( p \mid [\mathbb{Z}_K : \mathbb{Z}[\alpha] ] \) allora ogni volta che un primo \( p \) è divisibile per \(r\) ideali primi \(\mathfrak{p}\) tutti aventi stessa norma \( p^f \) posso trovare \(r\) polinomi irriducibili in \( \mathbb{F}_p[x] \) di grado \(f \), e viceversa, se quest'ultima condizione fosse sempre soddisfatta, allora è possibile trovare un \( \alpha \) tale che \( p \not\mid [ \mathbb{Z}_K : \mathbb{Z}[\alpha]] \).

"Dedekind":
[...] Wäre sie richtig, so müssten edesmal, wenn \(p\) durch \(r\) verschiedene Primideale \(\mathfrak{p}\) teilbar ist, deren Normen denselben Wert \(p^f\) haben, auch mindestens \(r\) verschiedene Primfunktionen \(P\) vom Grade \(f\) existieren, und umgekehrt, wenn diese letztere voraussetzung immer erfüllt wäre, so kännte man auch die Existenz einer Zahl \( \alpha \).

Ma onestamente non capisco come faccia, ne a dimostrarlo, ne ad essere possibile questa cosa. Forse conseguenza del teorema di Kummer-Dedekind?
Comunque sia se dimostro che per \(p=3 \) e \(K \) un campo cubico quella condizione è soddisfatta dovrei dimostrare che \(3\) non è un divisore di un discriminante inessenziale.

Quindi seguirebbe per questa cosa, in effetti poiché \( \left| \operatorname{Spec}_{(p)}( \mathbb{Z}_K) \right| = \left| \{ \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}_K) : \mathfrak{p} \mid p \mathbb{Z}_K \} \right| \leq [K:\mathbb{Q} ] \), in particolare anche per \(3 \mathbb{Z}_K \), allora basta controllare che ogni volta che \(3 \mathbb{Z}_K \) è divisibile per \(r \) ideali primi tutti aventi stessa norma \( 3^{f} \), con \(1 \leq r \leq 3 \), allora abbiamo che possiamo trovare \(r \) polinomi irriducibili in \( \mathbb{F}_3[x] \) di grado \(f\).
Poiché la norma di un \( \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}_{(3)}(\mathbb{Z}_K) \) è data da \( \operatorname{Nr}(\mathfrak{p}) = \left| \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \right|^{ f_{\mathfrak{p}/(3)}} \), dove \( f_{\mathfrak{p}/(3)} \) è il grado di inerzia e poiché abbiamo che
\[ 3 = [K:\mathbb{Q} ] = \sum_{\mathfrak{p} \mid (3)} e_{\mathfrak{p}/(3)} f_{\mathfrak{p}/(3)} \]
dove \( e_{\mathfrak{p}/(3)} \) è l'indice di ramificazione, allora in particolare risulta che \( 1 \leq f_{\mathfrak{p}/(3)} \leq 3 \). Dunque poiché in \( \mathbb{F}_3[x] \) ci sono \(3, 3 \) e \( 8 \) polinomi irriducibili rispettivamente di grado \(1,2 \) e \(3 \). Dunque segue che possiamo trovare un \( \alpha \in \mathbb{Z}_K \) tale che \( 3 \not\mid [ \mathbb{Z}_K : \mathbb{Z}[\alpha] ] \), in particolare abbiamo che \(3\) non può essere un divisore del discriminante inessenziale.


NB: non sono sicuro di come tradurre "und umgekehrt" cioè il suo significato è "e viceversa" ma non so onestamente se intende quanto segue
1) per ogni fattorizzazione in \(r \) ideali primi posso trovare \(r\) polinomi irriducibili e viceversa se posso trovare \(r\) polinomi irriducibili ho una fattorizzazione di \(r\) ideali primi
oppure se intende
2) Se fosse corretto che si può sempre trovare per ogni \(p\) un \(\alpha \) tale che \( p \mid [\mathbb{Z}_K : \mathbb{Z}[\alpha] ] \) allora ho la condizione (fattorizzazione -> polinomi) e viceversa se la condizione (fattorizzazione -> polinomi) è sempre soddisfatta allora si può sempre trovare per ogni \(p\) un \(\alpha \) tale che \( p \mid [\mathbb{Z}_K : \mathbb{Z}[\alpha] ] \).

Propendo più per la seconda, e probabilmente se sapessi meglio il tedesco non avrei questa ambiguità.

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Lol è molto più facile di così... sia \(\alpha \in \mathbb{Z} \) in particolare \( \alpha \in \mathbb{Z}_K \) allora \( \mathbb{Z}[\alpha] = \mathbb{Z} \) dunque \( 3 \mid [ \mathbb{Z}_K : \mathbb{Z}[\alpha]] \)

Edit: che è esattamente il contrario di quello che cercavo di dimostrare quindi ho detto una cavolata...