Divisore di Cartier associato a un fibrato lineare
Questo argomento potrebbe stare sia in Algebra sia in Geometria; se credete che sia più opportuno metterlo di là, spostate pure.
Sto studiando sistemi lineari di divisori sul testo di Hartshorne. Altre fonti che sto seguendo sono il baby book di Mumford e la versione provvisoria di "3264 & All That Intersection Theory" di Eisenbud e Harris, che si trova online, ad esempio qui.
In particolare, andiamo a pagina 157 di Hartshorne. Ci sono diverse cose che vorrei capire meglio.
Dato un line bundle $\mathcal{L}$ su una varietà $X$, si prende una sezione globale $s \in \Gamma(\mathcal{L},X)$. Innanzitutto, in generale questa sezione potrebbe non esistere (ad esempio il fibrato tautologico non ha sezioni globali), giusto?
Si vuole definire un divisore di Cartier associato a questa sezione globale (dovrebbe essere più o meno quello che si fa a pagina 18 di "3264 & All That", subito prima di definire la prima classe di Chern di un line bundle). Per definire questo divisore, si prende un ricoprimento di $X$ fatto di aperti che trivializzano $\mathcal{L}$ e per ogni $U_i$ del ricoprimento si considera un isomorfismo $\phi_i : \mathcal{L} | _{U_i}\to \mathcal{O}_X | _{U_i}$ (qui il testo scrive direttamente $\mathcal{O}_{U_i}$ ma dovrebbe essere lo stesso). La restrizione $s|_U$ corrisponde attraverso l'isomorfismo a una sezione di $\mathcal{O}_X| _U$; si prende dunque il divisore che ha come rappresentante la collezione $( U_i,\phi_i(s|_{U_i}))$.
Prima di tutto vorrei capire bene perché questo è un divisore di Cartier. Intanto, vediamo in che misura il divisore appena definito dipende dagli isomorfismi $\phi_i$. Hartshorne dice che i $\phi_i$ sono determinati modulo la moltiplicazione per un invertibile di $\Gamma(U_i,\mathcal{O}_{U_i} )$: direi che questo è vero semplicemente perché per ogni anello $A$, l'$A$-modulo degli omomorfismi di moduli da $A$ in sé è isomorfo allo stesso $A$; detto questo, se abbiamo due isomofismi $\phi$ e $\psi$, allora $\phi^{-1} \circ \psi$ è un isomorfismo di $\mathcal{O}_U$ in sé e perciò corrisponde a un elemento invertibile; torna?
La parte un po' meno chiara è il fatto che, affinché la collezione che abbiamo preso determini un divisore di Cartier, bisogna che $\phi_i(s|_{U_i}) ^{-1}\phi_j(s|_{U_j})$, opportunamente ristretta, sia un elemento invertibile di $\Gamma(U_i \cap U_j,\mathcal{O}_{U_i \cap U_j})$. E' un fatto così banale?
I problemi aumentano con la Proposizione 7.7, che, se ho ben capito, serve per dire che la classe del divisore associato a una sezione di un line bundle, non dipende dalla sezione, ma solo dal line bundle. Nell'enunciato della proposizione, $\mathcal{L}$ va ad indicare, a meno di isomorfismi, il fibrato associato a un divisore $D$, che io denoto $\mathcal{O}(D)$, come in 3264 & All That (mentre Hartshorne lo denota con $\mathcal{L}(D))$; poi, all'inizio della dimostrazione, identifica $\mathcal{L}$ con un sottofascio di $\mathcal{K}$ (fascio costante del campo delle frazioni dell'anello globale del fascio strutturale); fin qui nulla di male, anche se allora poteva lasciar perdere il cambio di notazione. Una sezione globale $s \in \Gamma(X,\mathcal{L})$ corrisponde a una funzione razionale $f$, cioè un elemento di $\Gamma(X,\mathcal{K})$.
Dopo tutto questo papiro, la cosa che non mi è per nulla chiara è qual è la differenza tra il divisore di Cartier associato a $s$ definito sopra, e il divisore principale dato da $f$.
Sto studiando sistemi lineari di divisori sul testo di Hartshorne. Altre fonti che sto seguendo sono il baby book di Mumford e la versione provvisoria di "3264 & All That Intersection Theory" di Eisenbud e Harris, che si trova online, ad esempio qui.
In particolare, andiamo a pagina 157 di Hartshorne. Ci sono diverse cose che vorrei capire meglio.
Dato un line bundle $\mathcal{L}$ su una varietà $X$, si prende una sezione globale $s \in \Gamma(\mathcal{L},X)$. Innanzitutto, in generale questa sezione potrebbe non esistere (ad esempio il fibrato tautologico non ha sezioni globali), giusto?
Si vuole definire un divisore di Cartier associato a questa sezione globale (dovrebbe essere più o meno quello che si fa a pagina 18 di "3264 & All That", subito prima di definire la prima classe di Chern di un line bundle). Per definire questo divisore, si prende un ricoprimento di $X$ fatto di aperti che trivializzano $\mathcal{L}$ e per ogni $U_i$ del ricoprimento si considera un isomorfismo $\phi_i : \mathcal{L} | _{U_i}\to \mathcal{O}_X | _{U_i}$ (qui il testo scrive direttamente $\mathcal{O}_{U_i}$ ma dovrebbe essere lo stesso). La restrizione $s|_U$ corrisponde attraverso l'isomorfismo a una sezione di $\mathcal{O}_X| _U$; si prende dunque il divisore che ha come rappresentante la collezione $( U_i,\phi_i(s|_{U_i}))$.
Prima di tutto vorrei capire bene perché questo è un divisore di Cartier. Intanto, vediamo in che misura il divisore appena definito dipende dagli isomorfismi $\phi_i$. Hartshorne dice che i $\phi_i$ sono determinati modulo la moltiplicazione per un invertibile di $\Gamma(U_i,\mathcal{O}_{U_i} )$: direi che questo è vero semplicemente perché per ogni anello $A$, l'$A$-modulo degli omomorfismi di moduli da $A$ in sé è isomorfo allo stesso $A$; detto questo, se abbiamo due isomofismi $\phi$ e $\psi$, allora $\phi^{-1} \circ \psi$ è un isomorfismo di $\mathcal{O}_U$ in sé e perciò corrisponde a un elemento invertibile; torna?
La parte un po' meno chiara è il fatto che, affinché la collezione che abbiamo preso determini un divisore di Cartier, bisogna che $\phi_i(s|_{U_i}) ^{-1}\phi_j(s|_{U_j})$, opportunamente ristretta, sia un elemento invertibile di $\Gamma(U_i \cap U_j,\mathcal{O}_{U_i \cap U_j})$. E' un fatto così banale?
I problemi aumentano con la Proposizione 7.7, che, se ho ben capito, serve per dire che la classe del divisore associato a una sezione di un line bundle, non dipende dalla sezione, ma solo dal line bundle. Nell'enunciato della proposizione, $\mathcal{L}$ va ad indicare, a meno di isomorfismi, il fibrato associato a un divisore $D$, che io denoto $\mathcal{O}(D)$, come in 3264 & All That (mentre Hartshorne lo denota con $\mathcal{L}(D))$; poi, all'inizio della dimostrazione, identifica $\mathcal{L}$ con un sottofascio di $\mathcal{K}$ (fascio costante del campo delle frazioni dell'anello globale del fascio strutturale); fin qui nulla di male, anche se allora poteva lasciar perdere il cambio di notazione. Una sezione globale $s \in \Gamma(X,\mathcal{L})$ corrisponde a una funzione razionale $f$, cioè un elemento di $\Gamma(X,\mathcal{K})$.
Dopo tutto questo papiro, la cosa che non mi è per nulla chiara è qual è la differenza tra il divisore di Cartier associato a $s$ definito sopra, e il divisore principale dato da $f$.
Risposte
Non ho ancora studiato i divisori (à la Cartier), ma:
Buon divertimento con l'Hartshorne
"Pappappero":Sì, questo è giusto!
...Dato un line bundle $ \mathcal{L} $ su una varietà $ X $, si prende una sezione globale $ s \in \Gamma(\mathcal{L},X) $. Innanzitutto, in generale questa sezione potrebbe non esistere..., giusto?...
Buon divertimento con l'Hartshorne
Già questo però a mio modo di vedere dà dei problemi, perché se ho bisogno di una sezione globale per associare a un line bundle un certo divisore, ai bundle senza sezioni globali non possono essere associati divisori, mentre da quel che ho capito si vuole fare in modo che le cose funzionino sempre.
3264 & All That risolve prendendo sezioni razionali, cioè definite su un aperto Zariski; queste ci sono sempre, però ho l'impressione che Hartshorne voglia fare qualcosa di leggermente diverso.
3264 & All That risolve prendendo sezioni razionali, cioè definite su un aperto Zariski; queste ci sono sempre, però ho l'impressione che Hartshorne voglia fare qualcosa di leggermente diverso.
Ripeto che queste cose non le ho ancora studiate ma
"Pappappero":forse è meglio precisare che esistono i divisori e i divisori à la Cartier, quindi devi stare attento a queste sottigliezze!
...3264 & All That risolve prendendo sezioni razionali, cioè definite su un aperto Zariski; queste ci sono sempre, però ho l'impressione che Hartshorne voglia fare qualcosa di leggermente diverso.
Dalle fonti che sto consultando, divisore (senza aggiungere altro) non vuol dire nulla. Si dice divisore quando è chiaro che tipo di divisore sia e le possibilità sono divisore di Weil o divisore di Cartier, ma sostanzialmente la teoria si fa con i divisori di Cartier, senza quasi curarsi di cosa siano i divisori di Weil.
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