Divisore
Mostrare che, per ogni intero positivo n, il numero 5^n+2 ·3^(n−1)+1 e divisibile per 8.
Risposte
Per induzione viene subito; $n=1$ ok, se è vero per $n$ allora basta osservare che $5^{n+1}+2\cdot 3^{n}+1=(5^n+2\cdot 3^{n-1}+1)+4(5^n+3^{n-1})$ e che $5^n+3^{n-1}$ è dispari.
È pari. 
Ops... grazie, hai ragione.
Senza induzione, un po' più lungo.
$5^n+2*3^(n-1)+1$ (1)
ma d'altra parte abbiamo che $5\equiv -3 \mod8$ quindi $5^n\equiv (-3)^n (mod8)$ e riducendo modulo 8 la (1) abbiamo
$(-3)^n+2*3^(n-1)+1$ (2)
Se $n$ è pari, allora $(-3)^n=3^n$ e ho dalla (2)
$3^n+2*3^(n-1)+1=3*3^(n-1)+2*3^(n-1)+1=5*3^(n-1)+1\equiv -3*3^(n-1)+1 (mod8)$
La dimostrazione è finita in quanto $n=2m$ (è pari)
$1-3*3^(n-1)=1-3^n=1-3^(2m)=1-9^m=(1-9)(....)$, divisibile per $8$
Se $n$ è dispari allora $n=2k+1$ e $(-3)^n=-3^n$ e quindi dalla (2)
$-3^n+2*3^(n-1)+1=-3*3^(n-1)+2*3^(n-1)+1=1-3^(n-1)=1-3^(2k)=1-9^k$ da cui si conclude come prima.
Ciao.
$5^n+2*3^(n-1)+1$ (1)
ma d'altra parte abbiamo che $5\equiv -3 \mod8$ quindi $5^n\equiv (-3)^n (mod8)$ e riducendo modulo 8 la (1) abbiamo
$(-3)^n+2*3^(n-1)+1$ (2)
Se $n$ è pari, allora $(-3)^n=3^n$ e ho dalla (2)
$3^n+2*3^(n-1)+1=3*3^(n-1)+2*3^(n-1)+1=5*3^(n-1)+1\equiv -3*3^(n-1)+1 (mod8)$
La dimostrazione è finita in quanto $n=2m$ (è pari)
$1-3*3^(n-1)=1-3^n=1-3^(2m)=1-9^m=(1-9)(....)$, divisibile per $8$
Se $n$ è dispari allora $n=2k+1$ e $(-3)^n=-3^n$ e quindi dalla (2)
$-3^n+2*3^(n-1)+1=-3*3^(n-1)+2*3^(n-1)+1=1-3^(n-1)=1-3^(2k)=1-9^k$ da cui si conclude come prima.
Ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo