Divisione polinomi
salve a tutti
avrei questo esercizio e mi mancherebbero alcune nozioni sui polinomi per risolverlo e non riesco a capire come formalizzarlo.
Sia $f(x)inRR[x]$.Dimostrare che $f(i)=0$ se e solo se $x^2+1|f(x)$.
qualcuno può darmi qualche input? penso ci siano dei teoremi che parlano chiaro di queste cose ma ho saltato delle lezioni e non riesco a trovarli
avrei questo esercizio e mi mancherebbero alcune nozioni sui polinomi per risolverlo e non riesco a capire come formalizzarlo.
Sia $f(x)inRR[x]$.Dimostrare che $f(i)=0$ se e solo se $x^2+1|f(x)$.
qualcuno può darmi qualche input? penso ci siano dei teoremi che parlano chiaro di queste cose ma ho saltato delle lezioni e non riesco a trovarli
Risposte
allora se $x^2+1|f(x)$ significa che $f(x)=(x^2+1)g(x)$, $g(x)inRR[x]$
se $f(i)=0$ allora $f(x)=(x-i)q(x)$ per Ruffini
essendo $i$ una radice anche di $x^2+1$ dovrebbe essere chiaro che divide $f(x)$, ma non riesco a formalizzare questa cosa,oltretutto dovrei dimostrarlo partendo da entrami i casi essendo un se e solo se.
esiste per caso un teorema che dice che se due polinomi hanno la stessa radice allora possono essere divisi?
se $f(i)=0$ allora $f(x)=(x-i)q(x)$ per Ruffini
essendo $i$ una radice anche di $x^2+1$ dovrebbe essere chiaro che divide $f(x)$, ma non riesco a formalizzare questa cosa,oltretutto dovrei dimostrarlo partendo da entrami i casi essendo un se e solo se.
esiste per caso un teorema che dice che se due polinomi hanno la stessa radice allora possono essere divisi?
Il fatto è che il tuo polinomio è a coefficienti in $RR$ quindi oltre a $(x-i)$ dovrà comparire anche il suo coniugato $(x+i)$ altrimenti i tuoi coefficienti stanno in $CC$ e non in $RR$.
L'idea credo sia questa.
L'idea credo sia questa.
"mistake89":
Il fatto è che il tuo polinomio è a coefficienti in $RR$ quindi oltre a $(x-i)$ dovrà comparire anche il suo coniugato $(x+i)$ altrimenti i tuoi coefficienti stanno in $CC$ e non in $RR$.
infatti $(x+i)$ è un'altra radice di $x^2+1$,come $f(i)=0$ implica che $f(bar(i))$ è un'altra radice di $f(x)$. Il problema è che non riesco a formalizzare la cosa,come posso dimostrarlo,dicendo che
$(x-i)(x+i)(a_(n-2)x^(n-2)+...+a_1x+a_0)=(x^2+1)q(x)$ implica che $f(x)|x^2+1$ ??
non riesco a scrivere una cosa filata che possa essere condivisibile da tutti
allora,provo in questo modo:
$f(i)=0$ se e solo se $x^2+1|f(x)$
$Ipo$ : $x^2+1|f(x)$
allora $f(x)$ si può scrivere come $f(x)=(x^2+1)q(x)$ ovvero $f(x)=(x-i)(x+i)q(x)$; ciò prova che $i$ è una radice di $f(x)$
viceversa
$Ipo$ :$f(i)=0$
allora $f(x)=(x-i)q(x)$ per Ruffini.
D'altro canto si può dimostrare che se $f(x)inRR[x]$ ed $f(i)=0rArrf(bari)=0$
quindi $f(x)=(x-i)(x+i)s(x)$
ma $x^2+1=(x-i)(x+i)$ e quindi $f(x)$ è un multiplo di $x^2+1$; ciò prova che $x^2+1|f(x)$. fine
Cosa ne dici? Il fatto che debbano esserci per forza due radici complesse e coniugate dovrebbe essere cruciale credo,visto che il polinomio dividendo deve avere tutte le radici del divisore?è un caso generale?
$f(i)=0$ se e solo se $x^2+1|f(x)$
$Ipo$ : $x^2+1|f(x)$
allora $f(x)$ si può scrivere come $f(x)=(x^2+1)q(x)$ ovvero $f(x)=(x-i)(x+i)q(x)$; ciò prova che $i$ è una radice di $f(x)$
viceversa
$Ipo$ :$f(i)=0$
allora $f(x)=(x-i)q(x)$ per Ruffini.
D'altro canto si può dimostrare che se $f(x)inRR[x]$ ed $f(i)=0rArrf(bari)=0$
quindi $f(x)=(x-i)(x+i)s(x)$
ma $x^2+1=(x-i)(x+i)$ e quindi $f(x)$ è un multiplo di $x^2+1$; ciò prova che $x^2+1|f(x)$. fine
Cosa ne dici? Il fatto che debbano esserci per forza due radici complesse e coniugate dovrebbe essere cruciale credo,visto che il polinomio dividendo deve avere tutte le radici del divisore?è un caso generale?
Una volta che scrivi $f(x)=(x-1)(x+i)s(x)$ per un certo $s(x) in RR[x]$ hai praticamente concluso.
A me sembra buona.
A me sembra buona.
comunque non è vero che se due polinomi ad esempio di grado 4 e 5 se hanno una radice in comune sono divisibili?
mentre se ne hanno 4 in comune lo sono sempre?
mi sembra di aver sentito una regola simile da qualche parte
mentre se ne hanno 4 in comune lo sono sempre?
mi sembra di aver sentito una regola simile da qualche parte
Scusami non capisco cosa tu voglia dire. Cerca di essere più chiaro! 
si scusami hai ragione,
mi chiedevo se poteva valere un criterio generico per vedere se due polinomi si possono dividere,del tipo
siano $f$ e $g$ due polinomi allora $g$ divide $f$ se e solo se $f$ ha tutte le radici di $g$.E il criterio è unico.
Ho detto una cavolata?
mi chiedevo se poteva valere un criterio generico per vedere se due polinomi si possono dividere,del tipo
siano $f$ e $g$ due polinomi allora $g$ divide $f$ se e solo se $f$ ha tutte le radici di $g$.E il criterio è unico.
Ho detto una cavolata?
Mmm secondo me non vale sempre. Forse su un campo algebricamente chiuso.
Prendi il polinomio $f(x)=(x-alpha)h(x)$ per un opportuno $h(x)$ polinomio a coefficienti reali. E sia $g(x)=(x-alpha)(x^2+x+1)$. L'unica radice reale di $g$ è $alpha$ che è anche presente in $f$ tuttavia per opportune scelte di $h(x)$ $g$ non divide $f$.
Così come lo hai enunciata non è vera. O meglio è incompleta!
Se invece con radici intendi sia quelle reali che quelle complesse (coniugate) allora credo sia vero. Tra l'altro dovrebbe essere abbastanza evidente.
Infatti se $g|f$ allora $f=gh$ per un opportuno $h$. Pertanto $f(alpha)=g(alpha)h(alpha)=0$ quindi $alpha$ è radice di $f$.
Se invece $alpha_1,...,alpha_n$ sono tutte le radici di $g$, che sono anche radici di $f$, ricordando il teorema di ruffini, si ha che $f(x)=(x-alpha_1)...(x-alpha_n)h(x)$ per un opportuno $h(x)$, da cui $f(x)=g(x)h(x)$ e quindi $g|f$
Prendi il polinomio $f(x)=(x-alpha)h(x)$ per un opportuno $h(x)$ polinomio a coefficienti reali. E sia $g(x)=(x-alpha)(x^2+x+1)$. L'unica radice reale di $g$ è $alpha$ che è anche presente in $f$ tuttavia per opportune scelte di $h(x)$ $g$ non divide $f$.
Così come lo hai enunciata non è vera. O meglio è incompleta!
Se invece con radici intendi sia quelle reali che quelle complesse (coniugate) allora credo sia vero. Tra l'altro dovrebbe essere abbastanza evidente.
Infatti se $g|f$ allora $f=gh$ per un opportuno $h$. Pertanto $f(alpha)=g(alpha)h(alpha)=0$ quindi $alpha$ è radice di $f$.
Se invece $alpha_1,...,alpha_n$ sono tutte le radici di $g$, che sono anche radici di $f$, ricordando il teorema di ruffini, si ha che $f(x)=(x-alpha_1)...(x-alpha_n)h(x)$ per un opportuno $h(x)$, da cui $f(x)=g(x)h(x)$ e quindi $g|f$
"mistake89":
Se invece con radici intendi sia quelle reali che quelle complesse (coniugate) allora credo sia vero. Tra l'altro dovrebbe essere abbastanza evidente.
Infatti se $g|f$ allora $f=gh$ per un opportuno $h$. Pertanto $f(alpha)=g(alpha)h(alpha)=0$ quindi $alpha$ è radice di $f$.
Se invece $alpha_1,...,alpha_n$ sono tutte le radici di $g$, che sono anche radici di $f$, ricordando il teorema di ruffini, si ha che $f(x)=(x-alpha_1)...(x-alpha_n)h(x)$ per un opportuno $h(x)$, da cui $f(x)=g(x)h(x)$ e quindi $g|f$
si intendevo in un campo algebricamente chiuso,devo imparare a non dare le cose per scontato,grazie alla prox!
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