Divisione in $ZZ$. Chiarimenti su dimostrazione.
Salve,
spero di aver postato nella sezione giusta e pongo qui proposizione e
dimostrazione della divisione in $ZZ$ e successivamente le mie domande di chiarimento.
Spero possiate cortesemente aiutarmi.
PROPOSIZIONE (divisione in $ZZ$):
siano $a$ e $b$ interi, $b != 0$. Allora esistono e sono univocamente
individuati due interi $q$ ed $r$ tali che $a = bq+r$, $0 <= r < |b|$.
DIMOSTRAZIONE:
Esistenza: vengono esaminati i due casi che si possono presentare $a >= 0$ oppure $a < 0$.
caso $a >= 0$:
Sia $S$ l'insieme di tutti gli interi non negativi della forma $a-mb, m \in ZZ$:
quindi l'insieme $S={n \in NN | n=a-mb, m \in ZZ}$ è un sottoinsieme non
vuoto di $NN$, dato che $a \in S$. Per il principio del minimo, $S$ conterrà
un minimo elemento, chiamiamolo $r$. Quindi $r=a-qb$ per qualche $q \in ZZ$.
Supponiamo per assurdo che non sia $r < |b|$: allora sarà $r >= |b|$ e dalle
$r=a-qb=$
$=a-qb-|b|+|b|=$
$=a-(q \pm 1)b+|b|$,
si avrebbe
$a-(q+1)b = r-|b| \in SS$
Questo contraddice la minimalità di $r$ in $S$.
caso $a < 0$:
...(ometto questa parte)
Unicità: sia $a = bq+r = bq'+r', 0 <= r, r' < |b|.
Supponiamo per esempio $r' >= r$. Allora $0 <= r' - r = b(q-q')$, da cui,
passando ai valori assoluti,
$|b||q-q'| = |b(q-q')| = r' - r <|b|$.
Cio è possibile solo se $|q-q'| < 1$ e cioè $|q-q'| = 0$, da cui $q=q'$ e $r=r'$.
ecco le mie domande:
1) perchè prende in considerazione numeri della forma $a-mb, m \in ZZ$ ?
2)
Ma non si era detto nella proposizione "siano a e b interi, $b != 0$",
cioè vuol dire $a, b \in ZZ$?
3) nello svolgimento perchè si aggiunge e toglie b?
cosa mi spinge ad optare per questo procedimento?
4) nell'unicità perchè c'è questo passaggio al valore assoluto? o meglio non
dovrebbe essere solo $|b|$ in valore assoluto e non anche $|q-q'|$?
anche se sicuramente ci saranno parti a me poco chiare ma che alla fin fine sono molto semplici,
spero comunque possiate per cortesia aiutarmi.
grazie mille.
spero di aver postato nella sezione giusta e pongo qui proposizione e
dimostrazione della divisione in $ZZ$ e successivamente le mie domande di chiarimento.
Spero possiate cortesemente aiutarmi.
PROPOSIZIONE (divisione in $ZZ$):
siano $a$ e $b$ interi, $b != 0$. Allora esistono e sono univocamente
individuati due interi $q$ ed $r$ tali che $a = bq+r$, $0 <= r < |b|$.
DIMOSTRAZIONE:
Esistenza: vengono esaminati i due casi che si possono presentare $a >= 0$ oppure $a < 0$.
caso $a >= 0$:
Sia $S$ l'insieme di tutti gli interi non negativi della forma $a-mb, m \in ZZ$:
quindi l'insieme $S={n \in NN | n=a-mb, m \in ZZ}$ è un sottoinsieme non
vuoto di $NN$, dato che $a \in S$. Per il principio del minimo, $S$ conterrà
un minimo elemento, chiamiamolo $r$. Quindi $r=a-qb$ per qualche $q \in ZZ$.
Supponiamo per assurdo che non sia $r < |b|$: allora sarà $r >= |b|$ e dalle
$r=a-qb=$
$=a-qb-|b|+|b|=$
$=a-(q \pm 1)b+|b|$,
si avrebbe
$a-(q+1)b = r-|b| \in SS$
Questo contraddice la minimalità di $r$ in $S$.
caso $a < 0$:
...(ometto questa parte)
Unicità: sia $a = bq+r = bq'+r', 0 <= r, r' < |b|.
Supponiamo per esempio $r' >= r$. Allora $0 <= r' - r = b(q-q')$, da cui,
passando ai valori assoluti,
$|b||q-q'| = |b(q-q')| = r' - r <|b|$.
Cio è possibile solo se $|q-q'| < 1$ e cioè $|q-q'| = 0$, da cui $q=q'$ e $r=r'$.
ecco le mie domande:
1) perchè prende in considerazione numeri della forma $a-mb, m \in ZZ$ ?
2)
dato che $a \in S$
Ma non si era detto nella proposizione "siano a e b interi, $b != 0$",
cioè vuol dire $a, b \in ZZ$?
3) nello svolgimento perchè si aggiunge e toglie b?
$=a-qb-|b|+|b|=$
cosa mi spinge ad optare per questo procedimento?
4) nell'unicità perchè c'è questo passaggio al valore assoluto? o meglio non
dovrebbe essere solo $|b|$ in valore assoluto e non anche $|q-q'|$?
anche se sicuramente ci saranno parti a me poco chiare ma che alla fin fine sono molto semplici,
spero comunque possiate per cortesia aiutarmi.
grazie mille.
Risposte
sì la sezione è sbagliata, andrebbe in algebra, mentre qui siamo in algebra lineare - geometria.
comunque ti rispondo:
1) e 3) si usano questi trucchi perchè si sa dove si vuole arrivare, e questo è un buon metodo. chi per primo ha penjsato questa dimostrazione ha avuto queste belle idee.
2) e quindi? $a in ZZ$ e anche $a in S$ non è che un elemento deve stare in un insieme solo..
4) se $c=d$ allora $|c|=|d|$ è una implicazione banale, ti è chiara?
comunque ti rispondo:
1) e 3) si usano questi trucchi perchè si sa dove si vuole arrivare, e questo è un buon metodo. chi per primo ha penjsato questa dimostrazione ha avuto queste belle idee.
2) e quindi? $a in ZZ$ e anche $a in S$ non è che un elemento deve stare in un insieme solo..
4) se $c=d$ allora $|c|=|d|$ è una implicazione banale, ti è chiara?
[mod="cirasa"]Sono d'accordo con Blackbishop13. Credo anch'io che la sezione giusta sia Algebra. Sposto.[/mod]
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