Divisione in un campo
Ciao, vado al punto, ho un campo (K,+,.) ed ingenuamente credevo che questo bastasse per usare la consueta algebra su elementi di K e magari anche usando la divisione esistendo l'inverso di ogni elemento di K*.
Forte di questo pensavo di poter scrivere ad esempio questi passaggi
$1/a + 1/b = (a+b)/{ab}$
Sbagliato vero?
Ok per somma ed il prodotto ma non è così immediato per la divisione, no?
Allora come ci si arriva?
Scusate la confusione, sono molto arrugginito, stavo riguardando i campi e .. Mi sono infognato sulla loro .. Utilita/Utilizzo.
Grazie per ogni spunto
Forte di questo pensavo di poter scrivere ad esempio questi passaggi
$1/a + 1/b = (a+b)/{ab}$
Sbagliato vero?
Ok per somma ed il prodotto ma non è così immediato per la divisione, no?
Allora come ci si arriva?
Scusate la confusione, sono molto arrugginito, stavo riguardando i campi e .. Mi sono infognato sulla loro .. Utilita/Utilizzo.
Grazie per ogni spunto
Risposte
Mi sembra che sia vero, se per $1/a$ intendi $a^-1$ inteso come inverso moltiplicativo cioè l'elemento tale che se lo moltiplichi per $a(\ne0)$ dà $1_{\mathbb{K}}$. Infatti basta fare:
$(a+b)/(ab)=(a+b)(ab)^-1=b^-1+a^-1=1/a +1/b$
$(a+b)/(ab)=(a+b)(ab)^-1=b^-1+a^-1=1/a +1/b$
Grazie per la risposta, e felice per la conferma .. Viva i campi allora 
Resta il fatto che manca qualche cosa, restando su
$(a+b)/{ab}$
Pensiamo al campo finito modulo p (primo)
In generale
$(ab+c) mod p$ scriviamolo $[ab+c]$ per comodità, è vero che
$[ab+c] = [a]+[c]$
mente non è neppure definito
$[(a+b)/{ab}]$ perché frazionario e quindi non in $ZZ$.
Per cui mi domando, quando formalmente è lecito e quando no? L'essere un campo non aiuta in questo.
Forse ho capito, in questo esempio la vera stranezza è che valga la
$[ab+c] = [a]+[c]$
Piuttosto che non valga la
$[(a+b)/{ab}]$
Riassumendo, con gli elementi di un campo vale la consueta algebra con + e . ed grazie all'opposto ed all'inverso implicitamente si definisce - e /
Ma in generale nulla nel campo implica le espressioni con i significati in $(RR,+,.)$ del tipo
$[ab+c] = [a]+[c]$
Che poi è ovvio, era solo una proprietà del modulo.
Credo di essermi risposto da solo, giusto?
Resta il fatto che manca qualche cosa, restando su
$(a+b)/{ab}$
Pensiamo al campo finito modulo p (primo)
In generale
$(ab+c) mod p$ scriviamolo $[ab+c]$ per comodità, è vero che
$[ab+c] = [a]+[c]$
mente non è neppure definito
$[(a+b)/{ab}]$ perché frazionario e quindi non in $ZZ$.
Per cui mi domando, quando formalmente è lecito e quando no? L'essere un campo non aiuta in questo.
Forse ho capito, in questo esempio la vera stranezza è che valga la
$[ab+c] = [a]+[c]$
Piuttosto che non valga la
$[(a+b)/{ab}]$
Riassumendo, con gli elementi di un campo vale la consueta algebra con + e . ed grazie all'opposto ed all'inverso implicitamente si definisce - e /
Ma in generale nulla nel campo implica le espressioni con i significati in $(RR,+,.)$ del tipo
$[ab+c] = [a]+[c]$
Che poi è ovvio, era solo una proprietà del modulo.
Credo di essermi risposto da solo, giusto?
Dipende da come interpreti la “linea di frazione”.
In $RR$ il numero $a/b$ con $b!=0$ si interpreta come prodotto di $a$ con il reciproco di $b$ (che esiste per assioma o per costruzione del campo reale). Nulla, in linea di principio, ti vieta di definire $a/b := a*b^(-1)$ in un qualsiasi campo $mathbb(K)$ per analogia a quanto si fa nel reale.
In particolare, in $ZZ_p$ ($p in NN$ primo) puoi definire $1/a$ come $a^(-1)$ ma ciò non significa che $a^(-1)$ è la classe di equivalenza generata dal reciproco di $a$ in $ZZ$... Perché nessun $a!=+-1$ è dotato di reciproco in $ZZ$!
Con tale definizione ottieni la solita regola di somma $1/a + 1/b = (a+b)/(ab)$, da interpretare come la classe di equivalenza di $(a+b)*(ab)^(-1)$.
In $RR$ il numero $a/b$ con $b!=0$ si interpreta come prodotto di $a$ con il reciproco di $b$ (che esiste per assioma o per costruzione del campo reale). Nulla, in linea di principio, ti vieta di definire $a/b := a*b^(-1)$ in un qualsiasi campo $mathbb(K)$ per analogia a quanto si fa nel reale.
In particolare, in $ZZ_p$ ($p in NN$ primo) puoi definire $1/a$ come $a^(-1)$ ma ciò non significa che $a^(-1)$ è la classe di equivalenza generata dal reciproco di $a$ in $ZZ$... Perché nessun $a!=+-1$ è dotato di reciproco in $ZZ$!
Con tale definizione ottieni la solita regola di somma $1/a + 1/b = (a+b)/(ab)$, da interpretare come la classe di equivalenza di $(a+b)*(ab)^(-1)$.
Perfetto, si era esattamente quello che intendevo dire, grazie mille
Il motivo per cui riesci a rappresentare l'addizione di inversi così è segretamente che i campi che hai in mente sono tutti campi delle frazioni di anelli commutativi; la situazione è leggermente diversa quando consideri (ad esempio) estensioni algebriche di campi finiti.
Nella mia esplorazione dei campi con un occhio particolare alla domanda "che me ne faccio?" .. Ero arrivato a dire che in un campo valgono le "normali" regole algebriche (Diciamo tutte quelle relative a +-×/) .. Fantastico pensando che il tutto può essere definite nel campo nei modi più disparati e su elementi più assurdi.
Ebbene no!!
Come minimo manca il fatto che
$a+a = 2a$
Ho visto poi che per avere anche questa possibilità di scrittura serve un operatore scalare esterno con le opportune proprietà di collegamento simili (identiche?) a quelle tra campo $(K,+,.)$ e gruppo abeliano $(V,+)$ nello spazio vettoriale, quindi distributiva rispetto a V e K, associativa mista ed unità comune.
La domanda è, ammesso che sia cosi, un campo scalare ed un campo generico legati cone sopra (Tipo spazio vrttoriale ma con V gruppo) è la struttura algebrica che "cerco"?
Dove l'algebra studiata alle superiori (Almeno sugli operatori definiti) è valida?
Scusate per la poca chiarezza, spero sia chiaro che si tratta di dare un "significato" intuitivo al gruppo.
Grazie
Ebbene no!!
Come minimo manca il fatto che
$a+a = 2a$
Ho visto poi che per avere anche questa possibilità di scrittura serve un operatore scalare esterno con le opportune proprietà di collegamento simili (identiche?) a quelle tra campo $(K,+,.)$ e gruppo abeliano $(V,+)$ nello spazio vettoriale, quindi distributiva rispetto a V e K, associativa mista ed unità comune.
La domanda è, ammesso che sia cosi, un campo scalare ed un campo generico legati cone sopra (Tipo spazio vrttoriale ma con V gruppo) è la struttura algebrica che "cerco"?
Dove l'algebra studiata alle superiori (Almeno sugli operatori definiti) è valida?
Scusate per la poca chiarezza, spero sia chiaro che si tratta di dare un "significato" intuitivo al gruppo.
Grazie
Veramente, quella lì è valida... Ma perché è una definizione.
In generale, fissato $a in mathbb(K)$ si pone:
\[
\begin{cases}
1 a = a \\
(n+1) a = n a + a &\text{, per ogni } n \in \mathbb{N}
\end{cases} \; .
\]
Se vuoi, è la stessa cosa che fai con le potenze in notazione moltiplicativa.
In generale, fissato $a in mathbb(K)$ si pone:
\[
\begin{cases}
1 a = a \\
(n+1) a = n a + a &\text{, per ogni } n \in \mathbb{N}
\end{cases} \; .
\]
Se vuoi, è la stessa cosa che fai con le potenze in notazione moltiplicativa.
Non è molto chiaro cosa stai chiedendo, ma ci sono delle cose sbagliate in quel che dici.
1. Che $a+a=2a$ è vero in ogni gruppo abeliano; questa semi-tautologia è quello che permette di caratterizzare i gruppi abeliani come tutti e soli i moduli su $ZZ$.
2. La categoria dei campi è un oggetto per certi versi bizzarro e per altri estremamente rigido: se i tuoi omomorfismi di anelli mandano 1 in 1 (come è ragionevole chiedere), allora un omomorfismo di anelli che sono campi deve essere per forza iniettivo, ossia -sebbene informalmente- "non appena esiste una mappa di campi $f : E\to F$, allora $E$ sta dentro $F$"
3. Quello che ho appena detto è a un passo dal dimostrare che nelle stesse notazioni, $F$ è uno spazio vettoriale su $E$; e se apri un libro di teoria dei campi, il "grado" di $F$ su $E$ è esattamente la dimensione di $F$ come $E$-spazio vettoriale.
3.1. Per esempio, $QQ$ è un sottocampo di $RR$, ed $RR$ è un $QQ$-spazio vettoriale di dimensione infinita; e $CC$ è un $RR$-spazio vettoriale di dimensione 2.
1. Che $a+a=2a$ è vero in ogni gruppo abeliano; questa semi-tautologia è quello che permette di caratterizzare i gruppi abeliani come tutti e soli i moduli su $ZZ$.
2. La categoria dei campi è un oggetto per certi versi bizzarro e per altri estremamente rigido: se i tuoi omomorfismi di anelli mandano 1 in 1 (come è ragionevole chiedere), allora un omomorfismo di anelli che sono campi deve essere per forza iniettivo, ossia -sebbene informalmente- "non appena esiste una mappa di campi $f : E\to F$, allora $E$ sta dentro $F$"
3. Quello che ho appena detto è a un passo dal dimostrare che nelle stesse notazioni, $F$ è uno spazio vettoriale su $E$; e se apri un libro di teoria dei campi, il "grado" di $F$ su $E$ è esattamente la dimensione di $F$ come $E$-spazio vettoriale.
3.1. Per esempio, $QQ$ è un sottocampo di $RR$, ed $RR$ è un $QQ$-spazio vettoriale di dimensione infinita; e $CC$ è un $RR$-spazio vettoriale di dimensione 2.
Che tristezza, speravo di aver capito, ma allora da dove derivano tutte le proprietà dello scalare per l'elemento di $K$ che in generale potrebbe non avere un elemento $2$ e poi da dove deriva la legge di composizione esterna, come si fa a calcolare $2a$?
Insomma a me pare che formalmente un campo non possa supportare
$a+a=2a$
Serve dire altro .. No?
Mi pare che quel che dicevo andasse nella direzione giusta.
Insomma a me pare che formalmente un campo non possa supportare
$a+a=2a$
Serve dire altro .. No?
Mi pare che quel che dicevo andasse nella direzione giusta.
Quello che stai definendo, formalmente, è un omomorfismo di anelli $\rho : ZZ\to \text{End}(K)$, che manda $n$ nella mappa che manda $a$ in \(a+a+\dots+a\), dove la somma è fatta $n$ volte.
Quando scrivi $na$, per $(n,a)\in ZZ\times K$, quello che intendi denotare è $\rho(n)(a)$.
Nota che non ho mai usato la locuzione "calcolare $2a$" o "supportare $a+a=2a$", che infatti non hanno senso.
Quando scrivi $na$, per $(n,a)\in ZZ\times K$, quello che intendi denotare è $\rho(n)(a)$.
Nota che non ho mai usato la locuzione "calcolare $2a$" o "supportare $a+a=2a$", che infatti non hanno senso.
"alessiocarlini":Ogni campo ha l'elemento $2$, è definito dalla formula $2:=1+1$. Ogni campo ha l'elemento $3$, definito dalla formula $3:=1+1+1$. Eccetera.
$K$ che in generale potrebbe non avere un elemento $2$
Quello che forse trae in inganno OP è che nulla vieta che "2" sia solo un modo circonvoluto di scrivere "0".
Perché un campo "formalmente non può supportare" $a+a=2a$?
Non ti basta definire $2:=1_(mathbb(K))+1_(mathbb(K))$?
In altre parole, perché $2$ dovrebbe denotare necessariamente il numero naturale "due" e non qualcos'altro?[nota]Che, poi, il qualcos'altro sia proprio il "due" cui sei abituato (a meno di qualche isomorfismo) te l'ha spiegato k_b... Ops, volevo dire fmnq.[/nota]
Non ti basta definire $2:=1_(mathbb(K))+1_(mathbb(K))$?
In altre parole, perché $2$ dovrebbe denotare necessariamente il numero naturale "due" e non qualcos'altro?[nota]Che, poi, il qualcos'altro sia proprio il "due" cui sei abituato (a meno di qualche isomorfismo) te l'ha spiegato k_b... Ops, volevo dire fmnq.[/nota]
Ecco la dimostrazione formale che $a+a=2a$ per ogni $a in K$ (dove $2$ è definito dalla formula $2=1+1$): per la proprietà distributiva
$a+a = 1*a+1*a = (1+1)*a = 2a$.
$a+a = 1*a+1*a = (1+1)*a = 2a$.
Grazie a tutti, credo di esserci.
Quello che cercavo era poco definito da una parte volevo che nel campo fosse possibile fare
$a+a=2a$
ma immaginavo che 2 dovesse essere uno scalare perché non vedevo che poteva essere (naturalmente) un elemento del campo stesso, come mi avete mostrato.
Ok, le due vie non necessariamente combaciano, ma questo è ovvio.
Oky, di nuovo grazie
Quello che cercavo era poco definito
da una parte volevo che nel campo fosse possibile fare$a+a=2a$
ma immaginavo che 2 dovesse essere uno scalare perché non vedevo che poteva essere (naturalmente) un elemento del campo stesso, come mi avete mostrato.
Ok, le due vie non necessariamente combaciano, ma questo è ovvio.
Oky, di nuovo grazie
"alessiocarlini":
Quello che cercavo era poco definito
$a+a=2a$
ma immaginavo che 2 dovesse essere uno scalare
E' possibile, infatti, e ti abbiamo come si fa.
Mi spiace Fmnq ma i tuoi interventi non li ho capiti, troppo avanzati per me .. Continuo a studiare e spero di arrivarci, insomma, come tirar fuori uno scalare da un generico campo senza aggiungere altro .. Per me é magia 
"alessiocarlini":
Mi spiace Fmnq ma i tuoi interventi non li ho capiti, troppo avanzati per me .. Continuo a studiare e spero di arrivarci, insomma, come tirar fuori uno scalare da un generico campo senza aggiungere altro .. Per me é magia
A parte che questa cosa sarebbe possibilissima, e l'unico problema è che non ti è chiaro come si fa, non devi "tirare fuori uno scalare"; formalmente devi solo definire un'azione di $ZZ$ su $K$; ti ho spiegato come si fa: ogni gruppo abeliano $G$ è in maniera naturale dotato di una tale azione, ponendo $\lambda : ZZ\times G \to G$ uguale a \((n,g)\mapsto g+g+\dots+g\), dove la somma è fatta $n$ volte. Questo elemento è esattamente "$ng$", ma in questa scrittura $n$ non è un elemento di $K$, è semplicemente un modo di denotare l'endomorfismo $\lambda(n,-) : G\to G$.
Se non capisci qualcosa, chiedilo pure, ma la magia nera è da un'altra parte, non qui.
Oky, se la via di cui parli è aggiungere un insieme scalare ed una legge di composizione esterna .. Allora eravamo già daccordo, dal tono sembravi smentirmi.
Meglio cosi
Meglio cosi
PS: sto cercando di orientarmi, e sono per i piccoli passi, sono certo che co siano vari modi per fare cose simili ma per ora mi accontento di affrontare un problema alla volta
Di nuovo grazie per gli spunti, danno una basa più solida su cui ragionare
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