Divisione euclidea tra polinomi e identita' di Bezout

[gundamrx91-votailprof]

Calcolare il MCD tra i polinomi F e G e scriverne la relativa identita' di Bezout.

$F=x^6+4X^5+2x^4-8x^3-7x^2+4x+4$
$G=x^3+x^2+x+1$

Inizio col dividere $F$ per $G$:

$(x^6+4X^5+2x^4-8x^3-7x^2+4x+4) = (x^3+x^2+x+1)(x^3+3x^2-2x-10) + (2x^2+16x+14)$

dove $Q1=x^3+3x^2-2x-10$ e $R1=2x^2+16x+14$


ora divido $G$ per $R1$:

$(x^3+x^2+x+1)=(2x^2+16x+14)(1/2x-7/2) + (50x+50)$

dove $Q2=1/2x-7/2$ e $R2=50x+50$

infine divido $R1$ per $R2$ e ottengo:

$2x^2+16x+14 = (50x+50)(1/25x+7/25)$

dove $Q3=1/25x+7/25$ e $R3=0$, quindi il MCD e' $50x+50$, ma siccome deve essere monico
diventa $MCD(F,G)=x+1$

l'identita' di Bezout la calcolo in questo modo:

$1) 50x+50 = (x^3+x^2+x+1) - (2x^2+16x+14)(1/2x-7/2)$
$2) 2x^2+16x+14 = (x^6+4X^5+2x^4-8x^3-7x^2+4x+4) - (x^3+x^2+x+1)(x^3+3x^2-2x-10)$

sostituendo la $2)$ nella $1)$ ottengo (indico i polinomi con le relative lettere):

$50x-50 = G -[F - G(x^3+3x^2-2x-10)](1/2x-7/2)=$
$=G(1) - F(1/2x-7/2) + G(1/2x^4-7/2x^3+3/2x^3-21/2x^2-x^2+7x-5x+35)=$
$=G(1) - F(1/2x-7/2) + G(1/2x^4-2x^3-11x^2+2x+35)=$
$=-F(1/2x-7/2) + G(1/2x^4-2x^3-11x^2+2x+36)$

siccome $MCD=x+1$ l'identita' di Bezout e':

$x+1 = 1/50(-1/2x+7/2)F + 1/50(1/2x^4-2x^3-11x^2+2x+36)G$

valore che discorda dalla soluzione del libro: $x+1 = 1/50(-1/2x+7/2)F + 1/50(1/2x^4-2x^3-23/2x^2+2x+36)G$

che pero' non riesco a capire. Dove sto sbagliando?? Ho controllato diverse volte ma non riesco a vedere l'errore...

[mistake89]

Ci dovrebbe essere un errore di calcolo. Tu scrivi $-(21)/2 x^2 -x^2=-11x^2$ ma non è giusta. Il risultato è $-21/2-2/2=-23/2$

[gundamrx91-votailprof]

Eccolo!!!!! Ok, ok ora l'ho visto : invece di fare $-21/2-1$ ho fatto $-21/2-1/2$ e quindi $11$.....

Grazie mistake

[gundamrx91-votailprof]

Devo eseguire un divisione con resto tra i seguenti polinomi:

$F=bar(2)x^2 + x^3 +bar(4)x$ e $G=bar(5)x^2 + bar(1) in ZZ_7[x]$

solo che non riesco a capire come procedere... Mi potete dare un'imboccata??

[uldi]

"GundamRX91":Devo eseguire un divisione con resto tra i seguenti polinomi:

$F=bar(2)x^2 + x^3 +bar(4)x$ e $G=bar(5)x^2 + bar(1) in ZZ_7[x]$

solo che non riesco a capire come procedere... Mi potete dare un'imboccata??

Il procedimento è esattamente lo stesso di sempre, solo che devi fare attenzione al fatto che sei in $ZZ_7$, e quindi i coefficienti sono classi di resto: ad esempio, al primo passaggio, il coefficiente del termine di primo grado sarà l'inverso di $bar(5)$ in $ZZ_7$, e così via

[gundamrx91-votailprof]

Ok, allora ho sicuramente sbagliato qualche calcolo perche' avevo provato a calcolare l'inverso di $5_mod_7$ e il risultato parziale era diverso da quello del libro.
Poi riprovo, intanto grazie per la dritta

[gundamrx91-votailprof]

Nuovo esercizio. Devo determinare un'identità di Bezaut dai polinoni:
$F=x^4 + x^2 +bar(1)$ e $G=x^3 + x + bar(1) in ZZ_3[x]$

Inizio a dividere $F$ per $G$ e ottengo:

$F=G*x + (2x + bar(1))$, dove $x$ è ovviamente il quoziente e $2x+bar(1)$ il resto;

poi divido $G$ per il primo resto, cioè $2x + 1$, e.....

$x^3 + x + bar(1) : 2x + 1 = bar(2)x + x + bar(1)$ con il resto di $1$

solo che non mi torna con la soluzione del libro che indica $G = (bar(1)+bar(2)x)(bar(2)x^2 + bar(2)x + bar(1)) + bar(0)$

e non riesco a capire dove sbaglio, se nel calcolare l'inverso moltiplicativo quando presente o altro ancora.
Mi potreste dare una mano? Grazie mille