Divisibilità fattoriale

[Lillo931]

Da un esame di matematica discreta:

Dimostrare che per ogni $ k in NN\\{0}$ si ha che $(K!)!$ è divisibile per $K!^(K-1!)$.
Suggerimento (dato dalla traccia): Non si usi il principio di induzione, ma si pensi piuttosto a certi coefficienti.

Qualcuno saprebbe risolvere questo esercizio? Grazie

[Stickelberger]

Fissiamo una partizione di $\{1,2,\ldots,n\}$ in sottoinsiemi disgiunti di $a_1,a_2\ldots,a_m$ elementi.
Abbiamo quindi che $a_1+a_2+\ldots+a_m=n$. Il sottogruppo $H$ di $S_n$ che preserva la
partizione e' isomorfo a $S_{a_1}\times S_{a_2}\times\ldots \times S_{a_m}$. Poiche' $\#H$ divide $\#S_n$, si ha che
$a_1!a_2!\ldots a_m!$ divide $n!$.

Nel caso speciale $a_1=a_2=\ldots=a_m=d$ abbiamo che $d$ divide $n$ e $m=n$/$d$.
Come consequenza $(d!)^{n/d}$ divide $n!$ per ogni divisore $d$ di $n$.
Se per un numero naturale $k$ prendiamo $n=k!$ e $d=k$, troviamo
che $k!^{(k-1)!}$ divide $k!!$ come richiesto.

[Lillo931]

Scusa se non ti ho risposto subito, ma non ho passato quest'esame e quindi ho mandato un po tutto a quel paese Grazie comunque per la risposta. Solo non ho capito la parte:

"Stickelberger": Il sottogruppo $ H $ di $ S_n $ che preserva la partizione e' isomorfo a $ S_{a_1}\times S_{a_2}\times\ldots \times S_{a_m} $. Poiche' $ \#H $ divide $ \#S_n $, si ha che $ a_1!a_2!\ldots a_m! $ divide $ n! $.