Divisibilità e resto.

[mmattiak]

Ragazzi, che procedimento utilizzereste per trovare il resto della divisione 5^7:7?

[Trilogy]

Ti hanno fatto questa domanda senza darti alcun teorema prima? Fermat ti dice niente?

[Kashaman]

E aggiungo.. il tuo problema è equivalente a trovare $x \in ZZ : x-= 5^7(mod 7)$

[mmattiak]

Il problema è che dovrei riuscire a risolvere questo problema senza fermat. Considerando anche i casi di 5^11e 5^13

[superpippone]

Non so cosa dica De Fermat in proposito...
Però noto che:
$5^0=1$ che diviso 7 mi da resto 1
$5^1=5$ che diviso 7 mi da resto 5
$5^2=25$ che diviso 7 mi da resto 4
$5^3=125$ che diviso 7 mi da resto 6
$5^4=625$ che diviso 7 mi da resto 2
$5^5=3.125$ che diviso 7 mi da resto 3
$5^6=15.625$ che diviso 7 mi da resto 1
$5^7=78.125$ che diviso 7 mi da resto 5
.........
I resti hanno la sequenza ciclica 1-5-4-6-2-3
............
Se lavoro coi resti ottengo:
1:7=resto 1
$1*5=5$ : 7 = resto 5
$5*5=25$ : 7 = resto 4
$4*5=20$ : 7 = resto 6
$6*5=30$ : 7 = resto 2
$2*5=10$ : 7 = resto 3
$3*5=15$ : 7= resto 1
$1*5=5$ : 7 = resto 5
......................
Anche in questo maniera ottengo la sequenza ciclica: 1-5-4-6-2-3
.................
Ma tutto questo per un'intuizione, non sono in grado di dimostrarlo "tecnicamente"