Divisibilità e quadrati perfetti
Trovare per quali valori di \(\displaystyle p \) primo la frazione \(\displaystyle \frac{2^{p-1}-1}{p} \) è un quadrato perfetto.
Quello che ho fatto è semplicemente: \(\displaystyle 2^{p-1}-1\equiv 0 \pmod{p} \) è sempre verificato per fermat, quindi \(\displaystyle p|2^{p-1}-1 \). Il risultato della divisione deve essere necessariamente dispari, quindi il quadrato perfetto dovrà essere \(\displaystyle \frac{2^{p-1}-1}{p}\equiv 1 \pmod{4} \). Siccome \(\displaystyle MCD(p,4)=1 \) si ha che \(\displaystyle 2^{p-1}-1\equiv p \pmod{4}\). Escludendo il caso \(\displaystyle p=2 \), si ha quindi \(\displaystyle p \equiv -1 \equiv 3 \pmod{4} \). Come potrei continuare?
Quello che ho fatto è semplicemente: \(\displaystyle 2^{p-1}-1\equiv 0 \pmod{p} \) è sempre verificato per fermat, quindi \(\displaystyle p|2^{p-1}-1 \). Il risultato della divisione deve essere necessariamente dispari, quindi il quadrato perfetto dovrà essere \(\displaystyle \frac{2^{p-1}-1}{p}\equiv 1 \pmod{4} \). Siccome \(\displaystyle MCD(p,4)=1 \) si ha che \(\displaystyle 2^{p-1}-1\equiv p \pmod{4}\). Escludendo il caso \(\displaystyle p=2 \), si ha quindi \(\displaystyle p \equiv -1 \equiv 3 \pmod{4} \). Come potrei continuare?
Risposte
Mi permetto di uppare perchè ho bisogno di un consiglio, in quanto non conosco la soluzione.
Supponiamo che $p>2$ sia primo e che $(2^{p-1} -1)/p$ sia un quadrato.
E' facile controllare che $(2^{p-1} -1)/p$ e' un quadrato per $p=3$ e $p=7$, ma non per $p=5$.
Sia adesso $p\ge 7$.
Dal fatto che quadrati dispari sono congrui ad $1$ mod $8$ e $2^{p-1}-1\equiv -1$ mod $8$,
segue che $p\equiv -1$ mod $8$. Questo implica che $2$ e' un quadrato modulo $p$ e
quindi che $p$ divide $2^{(p-1)/2} -1$.
Allora $(2^{p-1}-1)/p$ e' il prodotto degli interi $(2^{(p-1)/2} -1)/p$ e $2^{(p-1)/2} +1$. Poiche'
questi due fattori sono coprimi e positivi, tutti e due sono quadrati. In particolare, si ha
che $2^{(p-1)/2}+1=y^2$ e quindi $2^{(p-1)/2}=(y+1)(y-1)$ per qualche $y\in\Z_{>0}$.
Questo implica che sia $y-1$ che $y+1$ sono potenze di due. Le uniche potenze di $2$
che differiscono per $2$, sono $2$ e $4$. Abbiamo quindi che $y=3$ e $p=7$. Fatto.
E' facile controllare che $(2^{p-1} -1)/p$ e' un quadrato per $p=3$ e $p=7$, ma non per $p=5$.
Sia adesso $p\ge 7$.
Dal fatto che quadrati dispari sono congrui ad $1$ mod $8$ e $2^{p-1}-1\equiv -1$ mod $8$,
segue che $p\equiv -1$ mod $8$. Questo implica che $2$ e' un quadrato modulo $p$ e
quindi che $p$ divide $2^{(p-1)/2} -1$.
Allora $(2^{p-1}-1)/p$ e' il prodotto degli interi $(2^{(p-1)/2} -1)/p$ e $2^{(p-1)/2} +1$. Poiche'
questi due fattori sono coprimi e positivi, tutti e due sono quadrati. In particolare, si ha
che $2^{(p-1)/2}+1=y^2$ e quindi $2^{(p-1)/2}=(y+1)(y-1)$ per qualche $y\in\Z_{>0}$.
Questo implica che sia $y-1$ che $y+1$ sono potenze di due. Le uniche potenze di $2$
che differiscono per $2$, sono $2$ e $4$. Abbiamo quindi che $y=3$ e $p=7$. Fatto.
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