Divisibilità e congruenza

[7ania92]

Come posso dimostrare questo esercizio?
"Dimostrare che $forall n in Z$ 16 non divide $n^16+14n^4-4n^2-3$"
Ho provato in mille modi ma non riesco!

[maurer]

Distingui i due casi: o [tex]2 \mid n[/tex] oppure [tex]2 \nmid n[/tex]. Se [tex]2 \nmid n[/tex], allora per il teorema di Eulero [tex]n^8 \equiv 1 \pmod{16}[/tex] visto che [tex]\varphi(16) = 8\cdot(2-1) = 8[/tex], quindi [tex]n^{16} + 14 n^4 - 4n^2 - 3 \equiv 14 n^4 - 4n^2 - 2 = 2(7n^4 - 2n^2 -1) \pmod{16}[/tex]. Adesso la consegna è equivalente a dimostrare che 8 non divide [tex]7 n^4 - 2 n^2 -1[/tex]. Come prima, [tex]n^4 \equiv n \pmod{8}[/tex] perché [tex]\varphi(8) = 4[/tex]. Ma allora [tex]7n^4 - 2n^2 - 1 \equiv 7 + 6n^2 - 1 = 6(n^2 +1) \pmod{8}[/tex]. E, indovina un po'? Adesso siamo ridotti a dimostrare che 4 non divide [tex]n^2 + 1[/tex], ossia che [tex]n^2 + 1 \ne 0 \pmod{4}[/tex]. I quadrati modulo 4 sono però 1 e 2 (e 0, che però abbiamo escluso) quindi l'equazione non ha soluzioni.

Se invece [tex]2 \mid n[/tex], allora [tex]16 = 2^4 \mid n^4[/tex], e inoltre siamo fortunati, perché [tex]4 \mid n^2[/tex], sicché [tex]16 \mid 4n^2[/tex], quindi la tua tesi diventa equivalente a mostrare che [tex]-3 \ne 0 \pmod{16}[/tex], sulla qual cosa siamo tutti piuttosto d'accordo, giusto?

[7ania92]

Grazie mille!
Si anche io alla fine ero arrivata alla stessa conclusione, però sono partita imponendo appunto $n$ dispari, altrimenti è chiara la non divisibilità e poi arrivata alla congruenza modulo $8$ ho visto che per nessun $n$ dispari $n^2+1 equiv 0(mod8)$.
Grazie ancora