Divisibile per undici...e per n qualsiasi.
Aiutando un utente nella risoluzione di un problema ho capito perché e come si vedeva che un numero fosse divisibile per undici, si potrebbe applicare lo stesso metodo ma cambiando il numero da una base (che ne so 10) ad una base n-1 se il divisore è n?
Risposte
Direi di sì, e si dimostra con lo stesso argomento.
In una base qualsiasi $b$ si ha $11 = 1 + b$. In particolare $b \equiv -1 \mod 11$. Se $n$ è divisibile per $11$ hai $n= 11 k$ e scrivendo $k$ in base $b$ hai $k = k_0 + k_1b + ... + k_sb^s$ da cui
\[ n = k_0 + k_1b + ... + k_sb^s + b( k_0 + k_1b + ... + k_sb^s) = k_0 + (k_0+k_1)b + ... + (k_{s-1}+ k_{s})b^{s} + k_s b^{s+1} . \]
La somma delle cifre di posto pari di $n$ e quella di quelle di posto dispari coincidono con $\sum k_i$, e dunque la loro differenza è nulla.
Per il viceversa, sia $n= n_0 + n_1 b + ... + n_s b^s$. Passiamo modulo $b+1$ (cioè $11$ nella nostra base):
\[ n \equiv n_0 - n_1 + n_2 - n_3 ... \pm n_s\]
Se dunque la somma delle cifre a segni alterni è divisibile per $11$ allora anche il numero $n$ è divisibile per $11$.
La stessa generalizzazione si fa chiaramente con il criterio di divisibilità per $9$ considerando che in una base qualsiasi $b \equiv 1 \mod (b-1)$.
In una base qualsiasi $b$ si ha $11 = 1 + b$. In particolare $b \equiv -1 \mod 11$. Se $n$ è divisibile per $11$ hai $n= 11 k$ e scrivendo $k$ in base $b$ hai $k = k_0 + k_1b + ... + k_sb^s$ da cui
\[ n = k_0 + k_1b + ... + k_sb^s + b( k_0 + k_1b + ... + k_sb^s) = k_0 + (k_0+k_1)b + ... + (k_{s-1}+ k_{s})b^{s} + k_s b^{s+1} . \]
La somma delle cifre di posto pari di $n$ e quella di quelle di posto dispari coincidono con $\sum k_i$, e dunque la loro differenza è nulla.
Per il viceversa, sia $n= n_0 + n_1 b + ... + n_s b^s$. Passiamo modulo $b+1$ (cioè $11$ nella nostra base):
\[ n \equiv n_0 - n_1 + n_2 - n_3 ... \pm n_s\]
Se dunque la somma delle cifre a segni alterni è divisibile per $11$ allora anche il numero $n$ è divisibile per $11$.
La stessa generalizzazione si fa chiaramente con il criterio di divisibilità per $9$ considerando che in una base qualsiasi $b \equiv 1 \mod (b-1)$.
ma c'è un teorema di qualche tipo oppure che ne so vie alternative meno laboriose?
Il teorema è più o meno quello che ti ho scritto nel post precedente. Se vogliamo scriverlo un po' meglio:
Sia $n$ un numero naturale. Il resto nella divisione di $n$ per $b+1$ è uguale al resto nella divisione della somma a segni alterni delle cifre di $n$ nella sua scrittura in base $b$.
E ancora:
Sia $n$ un numero naturale. Il resto nella divisione di $n$ per $b-1$ è uguale al resto nella divisione della somma delle cifre di $n$ nella sua scrittura in base $b$.
In formule:
$[n \equiv \sum (-1)^i n_i] \mod ( b+1)$ dove $n_i$ sono le cifre della scrittura di $n$ in base $b$.
$[n \equiv \sum n_i] \mod (b-1)$ dove $n_i$ sono le cifre della scrittura di $n$ in base $b$.
Sia $n$ un numero naturale. Il resto nella divisione di $n$ per $b+1$ è uguale al resto nella divisione della somma a segni alterni delle cifre di $n$ nella sua scrittura in base $b$.
E ancora:
Sia $n$ un numero naturale. Il resto nella divisione di $n$ per $b-1$ è uguale al resto nella divisione della somma delle cifre di $n$ nella sua scrittura in base $b$.
In formule:
$[n \equiv \sum (-1)^i n_i] \mod ( b+1)$ dove $n_i$ sono le cifre della scrittura di $n$ in base $b$.
$[n \equiv \sum n_i] \mod (b-1)$ dove $n_i$ sono le cifre della scrittura di $n$ in base $b$.
gracias 
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