Disuguaglianza sui numeri primi
Ciao e grazie anticipatamente per l'aiuto .
Vorrei capire come si è giunta alla conclussione che
pn+1 = (p1 x p2 x p3 x .... x pn + 1 ) < pn = (p1 x p2 x p3 x .... x pn )
e che
pn+1 = (p1 x p2 x p3 x .... x pn + 1 ) < (p1 ,p2 , p3 , .... , pn )
Tutti dicono che è una conseguenza della dimostrazione di euclide sulla infinità dei primi ,
ma nessuno mi spiega il processo logico che porta ad affermare che pn+1 < pn
vi prego aiutatemi !!
Vorrei capire come si è giunta alla conclussione che
pn+1 = (p1 x p2 x p3 x .... x pn + 1 ) < pn = (p1 x p2 x p3 x .... x pn )
e che
pn+1 = (p1 x p2 x p3 x .... x pn + 1 ) < (p1 ,p2 , p3 , .... , pn )
Tutti dicono che è una conseguenza della dimostrazione di euclide sulla infinità dei primi ,
ma nessuno mi spiega il processo logico che porta ad affermare che pn+1 < pn
vi prego aiutatemi !!
Risposte
Cara Eva, mi sa che ti conviene imparare a scrivere in mathml altrimenti non si capisce niente.
$p_n+1 = (p_1 x p_2 x p_3 x .... x p_n + 1 ) < p_n = (p_1 x p_2 x p_3 x .... x p_n )$ o $p_(n+1) = (p_1 * p_2 * p_3 * .... * p_n + 1) > p_n = (p_1 * p_2 * p_3 * .... * p_n )$ o che altro?
$p_n+1 = (p_1 x p_2 x p_3 x .... x p_n + 1 ) < p_n = (p_1 x p_2 x p_3 x .... x p_n )$ o $p_(n+1) = (p_1 * p_2 * p_3 * .... * p_n + 1) > p_n = (p_1 * p_2 * p_3 * .... * p_n )$ o che altro?
Grazie @melia , per la celerità e la disponibilità ;
Riguarda la prima cosa che hai scritto . Ti faccio un esempio numerico .
2 , 3 , 5 sono p1 , p2 e pn
pn + 1 = ( 2 x 3 x 5 ) + 1 = 30 + 1 = 31 , mentre pn= ( 2 x 3 x 5 ) = 30
Allora mi si dice che per la disuguaglianza derivante dalla dimostrazione di Euclide sulla infinitudine dei primi ,
deriva che :
pn + 1 = ( 2 x 3 x 5 ) + 1 = 31 < pn= ( 2 x 3 x 5 ) = 30
Con che logica si afferma questo ?
Euclide disse soltanto che ipotizzando per assurdo un numero finito di primi p1 , p2 , .. , pn
andando a considerare il numero (p1xp2x..xpn) + 1 = pn + 1
questo era o un primo oppure un numero composto contenente un fattore primo > di pn
quindi pn non era il più grande dei primi .
dunque i primi sono in numero infinito .
Riguarda la prima cosa che hai scritto . Ti faccio un esempio numerico .
2 , 3 , 5 sono p1 , p2 e pn
pn + 1 = ( 2 x 3 x 5 ) + 1 = 30 + 1 = 31 , mentre pn= ( 2 x 3 x 5 ) = 30
Allora mi si dice che per la disuguaglianza derivante dalla dimostrazione di Euclide sulla infinitudine dei primi ,
deriva che :
pn + 1 = ( 2 x 3 x 5 ) + 1 = 31 < pn= ( 2 x 3 x 5 ) = 30
Con che logica si afferma questo ?
Euclide disse soltanto che ipotizzando per assurdo un numero finito di primi p1 , p2 , .. , pn
andando a considerare il numero (p1xp2x..xpn) + 1 = pn + 1
questo era o un primo oppure un numero composto contenente un fattore primo > di pn
quindi pn non era il più grande dei primi .
dunque i primi sono in numero infinito .
(Imparati velocemente a usare mathml, altrimenti è davvero difficile capire quello che dici, specie con gli indici).
Comunque Euclide diceva semplicemente questo:
Tu supponi che i numeri primi siano finiti; pertanto esiste un massimo dei numeri primi, sia $p_n$. Ora consideriamo il prodotto $P = p_1\cdot ... \cdotp_n +1$; chiaramente questo numero per costruzione è maggiore di $p_n$ pertanto non può essere primo, perchè per ipotesi $p_n$ è il più grande dei numeri primi.
Per il teorema fondamentale dell'aritmetica, $P$ si può scrivere come prodotto di numeri primi. Notiamo però che $P$ non è divisibile per nessuno dei primi, in quanto si ha, $\forall i = 1, ..., n$, $P/p_i = (p_1\cdot ... \cdotp_n)/p_i + 1/p_i$: la prima parte è intera mentre la seconda no, per cui il numero non è intero.
Ne segue che esiste almeno un primo diverso da quelli che si supponevano essere tutti (non ti dice in che rapporto sia con $p_n$).
Comunque Euclide diceva semplicemente questo:
Tu supponi che i numeri primi siano finiti; pertanto esiste un massimo dei numeri primi, sia $p_n$. Ora consideriamo il prodotto $P = p_1\cdot ... \cdotp_n +1$; chiaramente questo numero per costruzione è maggiore di $p_n$ pertanto non può essere primo, perchè per ipotesi $p_n$ è il più grande dei numeri primi.
Per il teorema fondamentale dell'aritmetica, $P$ si può scrivere come prodotto di numeri primi. Notiamo però che $P$ non è divisibile per nessuno dei primi, in quanto si ha, $\forall i = 1, ..., n$, $P/p_i = (p_1\cdot ... \cdotp_n)/p_i + 1/p_i$: la prima parte è intera mentre la seconda no, per cui il numero non è intero.
Ne segue che esiste almeno un primo diverso da quelli che si supponevano essere tutti (non ti dice in che rapporto sia con $p_n$).
grazie Gatto ;
avevo capito cmq quello che diceva Euclide .
Quello che non capisco è perche su wikipedia si dice (riporto pari pari da wikipedia) :
"Esistono un certo numero di disuguaglianze che coinvolgono i numeri primi.
Ad esempio, come conseguenza della dimostrazione di Euclide dell'infinità dei numeri primi,
si ha che: Pn + 1 < (p1 x p2 x .. x pn )
dove Pn + 1 = (p1 x p2 x .. x pn ) + 1
Adesso non voglio sapere il perche ?!
ma il procedimentom logico che porta ad affrmare ciò .. dai Gatto aiutami !!
avevo capito cmq quello che diceva Euclide .
Quello che non capisco è perche su wikipedia si dice (riporto pari pari da wikipedia) :
"Esistono un certo numero di disuguaglianze che coinvolgono i numeri primi.
Ad esempio, come conseguenza della dimostrazione di Euclide dell'infinità dei numeri primi,
si ha che: Pn + 1 < (p1 x p2 x .. x pn )
dove Pn + 1 = (p1 x p2 x .. x pn ) + 1
Adesso non voglio sapere il perche ?!
ma il procedimentom logico che porta ad affrmare ciò .. dai Gatto aiutami !!
eva1980aa:
grazie Gatto ;
avevo capito cmq quello che diceva Euclide .
Quello che non capisco è perche su wikipedia si dice (riporto pari pari da wikipedia) :
"Esistono un certo numero di disuguaglianze che coinvolgono i numeri primi.
Ad esempio, come conseguenza della dimostrazione di Euclide dell'infinità dei numeri primi,
si ha che: Pn + 1 < (p1 x p2 x .. x pn )
dove Pn + 1 = (p1 x p2 x .. x pn ) + 1
Adesso non voglio sapere il perche ?!
ma il procedimentom logico che porta ad affrmare ciò .. dai Gatto aiutami !!
A questo punto vien da pensare che sulla tastiera del suo pc manchi il simbolo del dollaro...
uhm , .. sulla sua di tastiera c'è pure il tasto dell'impertinenza ?
.. attento quando digiti ..
.. attento quando digiti ..
si ha che: Pn + 1 < (p1 x p2 x .. x pn )
dove Pn + 1 = (p1 x p2 x .. x pn ) + 1
queste due righe sono in contraddizione. ti conviene riportare il link, oltre che imparare a scrivere le formule (dovrebbe esserci un riferimento ipertestuale, con la parola "formule" in colore: basta cliccare lì per essere rinviati alla pagina apposita del forum!).
Grazie mille Ada
E' vero sono in contraddizione .. appunto per quello volevo capire il processo logico .
$P_n + 1 = ( p_1 * p_2 * p_3 * * p_n ) + 1 $
Per la dimostrazione di Euclide :
$P_n + 1$ < $ ( p_1 * p_2 * p_3 * * p_n ) $
ecco il link http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_primo
E' vero sono in contraddizione .. appunto per quello volevo capire il processo logico .
$P_n + 1 = ( p_1 * p_2 * p_3 * * p_n ) + 1 $
Per la dimostrazione di Euclide :
$P_n + 1$ < $ ( p_1 * p_2 * p_3 * * p_n ) $
ecco il link http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_primo
prego.
quello che io ho trovato è, come ci si poteva aspettare, non $P_n +1$ ma $p_(n+1)$.
ammesso che non ci siano differenze tra maiuscolo e minuscolo, la prima espressione indica il termine $n$-esimo aumentato di $1$, mentre la seconda indica il termine $(n+1)$-esimo, e non è la stessa cosa.
non sono stata a vedere l'articolo con molta attenzione, ma sulla base di ciò prova a riformulare i tuoi dubbi.
ciao.
quello che io ho trovato è, come ci si poteva aspettare, non $P_n +1$ ma $p_(n+1)$.
ammesso che non ci siano differenze tra maiuscolo e minuscolo, la prima espressione indica il termine $n$-esimo aumentato di $1$, mentre la seconda indica il termine $(n+1)$-esimo, e non è la stessa cosa.
non sono stata a vedere l'articolo con molta attenzione, ma sulla base di ciò prova a riformulare i tuoi dubbi.
ciao.
Buondì Ada ..
se è $P_n_+_1 $ è non $P_n +1 $ allora tutto torna ..
Parafrasando Garibaldi a Teano : "Grazie 1000"
se è $P_n_+_1 $ è non $P_n +1 $ allora tutto torna ..
Parafrasando Garibaldi a Teano : "Grazie 1000"
buongiorno, Eva.
prego!
prego!
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