Disuguaglianza di Bernoulli

[twintwin-votailprof]

Salve ragazzi, sono una ragazza del corso di Metodi Matematici di Firenze e mi presento a voi chiedendovi subito una mano a capire parte di questo principio.

Allora, vi riporto il testo dei miei appunti:

Sia $a >=-1$ vale la seguente disuguaglianza

$(1+a)^n >= 1 + na$, per ogni $n € N$ (per € si intende "appartiene a" e per N si considera l'insieme dei numeri naturali)

Dimostrazione. Sia p(n) la proposizione

$(1+a)^n >= 1 + na$ (J)

i) p(a) è banalmente soddisfatta.
ii) Sia n € N, supponiamoche p(n) sia vera e proviamo p(n+1) ovvero proviamo che

$(1+a)^(n+1) >= 1 + (n+1)a$

Poiché $a >= -1$ moltiplicando ambo i membri di (J) oer $(1+a)$

$(1+a)^(n+1) >= (1+a)^n (1+a) >= (1+na) (1+a) =$

e qui viene il passaggio che non riesco a capire..

$1 + (n+1)a+na^2 >= 1 + (n+1)a$

cioè come si fa a passare dalla penultima preposizione all'ultima?

Vi ringrazio in anticipo ^^

[Eredir]

Basta osservare che $na^2>=n(-1)^2=n>=0$.

[Gaal Dornick]

"Argos86":$n € N$

n in NN --> $n in NN$

i) p(a) è banalmente soddisfatta.

i) p(0) è banalmente soddisfatta.

[twintwin-votailprof]

Ok, ma come faccio a passare da qui:

$(1+a)^(n+1) >= (1+a)^n (1+a) >= (1+na) (1+a) =$


a qui:
$1 + (n+1)a+na^2 >= 1 + (n+1)a$

è questo che non capisco....

[Eredir]

"Argos86":Ok, ma come faccio a passare da qui:

$(1+a)^(n+1) >= (1+a)^n (1+a) >= (1+na) (1+a) =$


a qui:
$1 + (n+1)a+na^2 >= 1 + (n+1)a$

è questo che non capisco....

$(1+na)(1+a)=1+a+na+na^2=1+(n+1)a+na^2$

Non vedo il problema, poi semplicemente usi la disuguaglianza che ho scritto prima.