Disequazione con moduli
Salve a tutti sono nuovo, ho da porre una domanda che potrebbe sembrare banale ma mi ha messo in difficoltà.
Se ho due numeri interi a,b,x con a<=b ,Abs(x-a)<=Abs(x-b) se e solo se x<=del quoziente inferiore di (a+b)/2 ,intendendo il quoziente inferiore il risultato approsimato per difetto.
Non riesco a capire come si giunga alla tesi di cui sopra.
Con Abs intendo il valore Assoluto.
Ringrazio a tutti per le risposte
Se ho due numeri interi a,b,x con a<=b ,Abs(x-a)<=Abs(x-b) se e solo se x<=del quoziente inferiore di (a+b)/2 ,intendendo il quoziente inferiore il risultato approsimato per difetto.
Non riesco a capire come si giunga alla tesi di cui sopra.
Con Abs intendo il valore Assoluto.
Ringrazio a tutti per le risposte
Risposte
Facci un piacere: scrivi con le formule.
Così sarà più facile per noi la lettura.
Se non sei capace di scrivere con le formule, qui è spiegato facilmente:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
Così sarà più facile per noi la lettura.
Se non sei capace di scrivere con le formule, qui è spiegato facilmente:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
"misanino":
Facci un piacere: scrivi con le formule.
Così sarà più facile per noi la lettura.
Se non sei capace di scrivere con le formule, qui è spiegato facilmente:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
Abbiamo tre numeri $a$,$b$,$x$ con a$<=$ b , perchè sotto questa ipotesi vale che $ABS$(x-a)$<=$ABS$(x-b)
se e solo se x$<=$($a$+$b$)/2
Edit i tre numeri sono interi
se e solo se x$<=$($a$+$b$)/2
Edit i tre numeri sono interi
Siano $a,b,x in ZZ$, con $a<=b$ dimostrare che
$|x-a|<=|x-b|$ $\Leftrightarrow$ $x<=(a+b)/2$
un idea può essere:
$x=(a+b)/2 +c$
$|x-a|<=|x-b|$ , $|(a+b)/2 + c -a|<=|(a+b)/2 + c -b|$
$|b-a+2c|<=|a-b+2c|$ da cui sfruttando il fatto che $a<=b$
si ricava che deve essere $2c<=0$ ovvero $c<=0$
da cui $x<=(a+b)/2$
$|x-a|<=|x-b|$ $\Leftrightarrow$ $x<=(a+b)/2$
un idea può essere:
$x=(a+b)/2 +c$
$|x-a|<=|x-b|$ , $|(a+b)/2 + c -a|<=|(a+b)/2 + c -b|$
$|b-a+2c|<=|a-b+2c|$ da cui sfruttando il fatto che $a<=b$
si ricava che deve essere $2c<=0$ ovvero $c<=0$
da cui $x<=(a+b)/2$
Apprezzo lo sforzo, anche se scrivere con le formule è un'altra cosa!
Devi mostrare che $|x-a|<=|x-b|$ se e solo se $x<=(a+b)/2$ (e sai che a,b interi e $a<=b$).
Ora se $a=b$ ciò è ovvio (invece del minore o uguale c'è proprio l'uguale)
Considero allora $a
e quindi $a-|x-b|<=x<=a+|x-b|$
Distinguiamo ora 2 casi.
Caso1: $x-b>=0$
Allora $a-|x-b|<=x<=a+|x-b|$ diventa $a-x+b<=x<=a+x-b$ e cioè $a-x+b<=x$ e $x<=a+x-b$.
Ma da questa seconda otteniamo $a-b>=0$ e quindi $a>=b$ contro il fatto che $a
Caso 2: $x-b<0$
Allora $a-|x-b|<=x<=a+|x-b|$ diventa $a+x-b<=x<=a-x+b$ e cioè $a+x-b<=x$ e $x<=a-x+b$.
Dalla prima otteniamo $a<=b$ che non ci dà nessuna informazione, ma ci riconferma l'ipotesi da cui eravamo partiti.
La seconda ci dà $2x<=a+b$ da cui $x<=(a+b)/2$
e abbiamo così il risultato che volevamo
Devi mostrare che $|x-a|<=|x-b|$ se e solo se $x<=(a+b)/2$ (e sai che a,b interi e $a<=b$).
Ora se $a=b$ ciò è ovvio (invece del minore o uguale c'è proprio l'uguale)
Considero allora $a
e quindi $a-|x-b|<=x<=a+|x-b|$
Distinguiamo ora 2 casi.
Caso1: $x-b>=0$
Allora $a-|x-b|<=x<=a+|x-b|$ diventa $a-x+b<=x<=a+x-b$ e cioè $a-x+b<=x$ e $x<=a+x-b$.
Ma da questa seconda otteniamo $a-b>=0$ e quindi $a>=b$ contro il fatto che $a
Caso 2: $x-b<0$
Allora $a-|x-b|<=x<=a+|x-b|$ diventa $a+x-b<=x<=a-x+b$ e cioè $a+x-b<=x$ e $x<=a-x+b$.
Dalla prima otteniamo $a<=b$ che non ci dà nessuna informazione, ma ci riconferma l'ipotesi da cui eravamo partiti.
La seconda ci dà $2x<=a+b$ da cui $x<=(a+b)/2$
e abbiamo così il risultato che volevamo
Compilmenti.Cosa studi?
Indovina un po'?! 
Comunque sono contento che ora l'esercizio ti sia chiaro.
Alla prossima
Comunque sono contento che ora l'esercizio ti sia chiaro.
Alla prossima
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo