Diseguaglianza di Schwarz
Ciao a tutti, ho un problema sulla dimostrazione della diseguaglianza di Schwarz, per prima cosa inserisco la dimostrazione che ho, poi vi spiego cosa non capisco.
Dati $ a_1, ... , a_n $ ; $ b_1 , ... , b_n \in \mathbb{C} $ si ha $|\sum_{j=1}^n a_j\overline{b_j}|^2 \leq \sum_{j=1}^n|a_j|^2 \sum_{j=1}^n|b_j|^2 $
Dim:
(1) Pongo $ A = \sum|a_j|^2 $ ; $ B = \sum|b_j|^2 $ ; $ C = \sum a_j\overline{b_j} $
(2) si deve avere che $ |C|^2 \leq AB $. Se $B = 0$ la tesi è ovvia, impongo $B \ne 0$.
(3) posso riscrivere come $ 0 \leq AB^2 - B|C|^2 = B^2\sum|a_j|^2 - |C|^2\sum|b_j|^2 $
(4) che posso vederla come $ B^2\sum|a_j|^2 - CB\sum\overline{a_j}b_j - \overline{C}B\suma_j\overline{b_j} + |C|^2\sum|b_j|^2 $
(5) che è uguale a: $\sum(Ba_j - Cb_j)(B\overline{a_j} - \overline{C}\overline{b_j}) $
(6) ovvero $ \sum|Ba_j - Cb_j|^2 $ che è maggiore di zero.
Quello che non capisco è il passaggio dal punto (3) al punto (4), non capisco come è venuto in mente all'autore del testo di fare quel passaggio... la risposta che mi sono dato è che la formula in (3) potrebbe essere vista come un "quadrato" in questo senso (completare il quadrato) facendo un passaggio intermedio scrivo $B^2\sum|a_j|^2 -2CB\sum\overline{a_j}b_j + |C|^2\sum|b_j|^2$ ma i termini $\sum|a_j|^2$ e $\sum|b_j|^2$ non sono dei quadrati... quindi non funziona il mio ragionamento. Potete aiutarmi?
Dati $ a_1, ... , a_n $ ; $ b_1 , ... , b_n \in \mathbb{C} $ si ha $|\sum_{j=1}^n a_j\overline{b_j}|^2 \leq \sum_{j=1}^n|a_j|^2 \sum_{j=1}^n|b_j|^2 $
Dim:
(1) Pongo $ A = \sum|a_j|^2 $ ; $ B = \sum|b_j|^2 $ ; $ C = \sum a_j\overline{b_j} $
(2) si deve avere che $ |C|^2 \leq AB $. Se $B = 0$ la tesi è ovvia, impongo $B \ne 0$.
(3) posso riscrivere come $ 0 \leq AB^2 - B|C|^2 = B^2\sum|a_j|^2 - |C|^2\sum|b_j|^2 $
(4) che posso vederla come $ B^2\sum|a_j|^2 - CB\sum\overline{a_j}b_j - \overline{C}B\suma_j\overline{b_j} + |C|^2\sum|b_j|^2 $
(5) che è uguale a: $\sum(Ba_j - Cb_j)(B\overline{a_j} - \overline{C}\overline{b_j}) $
(6) ovvero $ \sum|Ba_j - Cb_j|^2 $ che è maggiore di zero.
Quello che non capisco è il passaggio dal punto (3) al punto (4), non capisco come è venuto in mente all'autore del testo di fare quel passaggio... la risposta che mi sono dato è che la formula in (3) potrebbe essere vista come un "quadrato" in questo senso (completare il quadrato) facendo un passaggio intermedio scrivo $B^2\sum|a_j|^2 -2CB\sum\overline{a_j}b_j + |C|^2\sum|b_j|^2$ ma i termini $\sum|a_j|^2$ e $\sum|b_j|^2$ non sono dei quadrati... quindi non funziona il mio ragionamento. Potete aiutarmi?
Risposte
Ti consiglio il libro "Cauchy-Schwartz Master Class", ripercorre la storia di tutte le disuguaglianze più famose e ne mostra le applicazioni principali in molti settori diversi. Ha anche molti esercizi interessanti.
Il primo capitolo è dedicato appunto a "Cauchy-Schwartz", la cui prima dimostrazione è dovuta a Chauchy e a un brillante uso dell'induzione e in seguito ce ne sono state altre di dimostrazioni interessanti ma più straightforward di questa. Il polinomio l'ha tirato fuori dal cappello Schwartz, cito da pagina 10 del libro:
"In the course of this work, Schwarz had the need for a two-dimensional integral analog of Cauchy’s inequality. In particular, he needed to show that [...] and Schwarz also needed to know that the inequality is strict unless the functions f and g are proportional.
An approach to this result via Cauchy’s inequality would have been problematical for several reasons, including the fact that the strictness of a discrete inequality can be lost in the limiting passage to integrals. Thus, Schwarz had to look for an alternative path, and, faced with necessity, he discovered a proof whose charm has stood the test of time.
Schwarz based his proof on one striking observation. Specifically, he noted that the real polynomial [...]
Schwarz’s proof requires the wisdom to consider the polynomial p(t), but, granted that step, the proof is lightning quick. [...] Schwarz’s argument provides one with a quick under-standing of the case of equality. Thus, there is little reason to wonder why Schwarz’s argument has become a textbook favorite, even though it does require one to pull a rabbit — or at least a polynomial — out of a hat."
Il primo capitolo è dedicato appunto a "Cauchy-Schwartz", la cui prima dimostrazione è dovuta a Chauchy e a un brillante uso dell'induzione e in seguito ce ne sono state altre di dimostrazioni interessanti ma più straightforward di questa. Il polinomio l'ha tirato fuori dal cappello Schwartz, cito da pagina 10 del libro:
"In the course of this work, Schwarz had the need for a two-dimensional integral analog of Cauchy’s inequality. In particular, he needed to show that [...] and Schwarz also needed to know that the inequality is strict unless the functions f and g are proportional.
An approach to this result via Cauchy’s inequality would have been problematical for several reasons, including the fact that the strictness of a discrete inequality can be lost in the limiting passage to integrals. Thus, Schwarz had to look for an alternative path, and, faced with necessity, he discovered a proof whose charm has stood the test of time.
Schwarz based his proof on one striking observation. Specifically, he noted that the real polynomial [...]
Schwarz’s proof requires the wisdom to consider the polynomial p(t), but, granted that step, the proof is lightning quick. [...] Schwarz’s argument provides one with a quick under-standing of the case of equality. Thus, there is little reason to wonder why Schwarz’s argument has become a textbook favorite, even though it does require one to pull a rabbit — or at least a polynomial — out of a hat."
Se lo trovo in rete in pdf me lo leggo.
La mia dimostrazione però non è quella con il polinomio, sapresti aiutarmi?
La mia dimostrazione però non è quella con il polinomio, sapresti aiutarmi?
Pardon, mi sembrava fosse analoga al metodo del polinomio ma ho sbagliato leggendo di sfuggita.
Da (3) a (4) c'è un segno "ballerino" davanti a $|C|^2 sum |b_j|^2$...
"gugo82":
Da (3) a (4) c'è un segno "ballerino" davanti a $|C|^2 sum |b_j|^2$...
Si gugo, ma è giustificato, perché i due termini intermedi sono nient'altro che $-|C|^2 sum |b_j|^2$ scritti in modo differente $C\overline{C} sum|b_j|^2 $ che diventa $CB sum\overline{a_j} b_j$ oppure $\overline{C} B sum a_j \overline{b_j}$
Se invece era un hint per la soluzione del quesito non l'ho capito
Up!
Ho l'impressione che passi da $AB^2-|C|^2 B$ a $(4)$ aggiungendo e sottraendo $|C|^2 B$. Ha lasciato inalterato il termine col segno + davanti, mentre ha manipolato i due termini preceduti dal segno -.
Si è così, ma io ad esempio aggiungo e tolgo qualcosa se voglio ottenere un quadrato per esempio, li aggiunge toglie manipola e tira fuori la soluzione sensa costruire il quadrato... Non so forse è immediato il problema, ma io non lo capisco
Non credo che aggiunga e sottragga per ottenere il quadrato. Aggiunge e sottrae per ottere il prodotto tra un numero complesso e il suo coniugato.
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