Discussione iniettività e suriettività di una funzione
Salve,
sono nuovo di questo forum e volevo chiedere aiuto riguardo l'argomento indicato nel titolo.
Per capire da dove è sorto il mio dubbio vi riscrivo il testo dell'esercizio che ho trovato su internet per allenarmi per un esonero che ho tra pochi giorni (non chiedo la risoluzione dell'esercizio, altrimenti verrei meno al punto 1.2 del regolamento), e devo trovare un metodo risolutivo coerente con la richiesta.
L'esercizio dice questo:
Discutere l'iniettività e la suriettività della funzione $f: F \to F$ definita da $x \to f(x) = 2x^3 + 5$ quando $F$ è uno dei seguenti campi:
(a) $F = QQ$ (b) $F = RR$ (c) $F = CC$ (d) $F = ZZ_5$ (e) $F = ZZ_7$
Premetto che la definizione di iniettività e suriettività la consco a livello teroico. Inoltre mi era stato consigliato per dimostrare l'iniettività di una funzione devo porre $x_1 = x_2$, ovvero che ad ogni elemento del dominio corrisponde al più un elemento del codominio e che solo se tutti gli elementi del domino hanno una immagine nel codominio si può parlare di iniettività e suriettività.
Da qui arrivo ai miei problemi:
1) Per l'iniettività però io vorrei arrivare ad un metodo risolutivo elegante senza mettermi a sostituire ogni numero che si trova all'interno del dominio per vedere solo quello ha solo un elemento del codominio(perchè quando si tratta di pochi elementi si può pure fare ma quando arriviamo ad infiniti elementi le cose si complicano e diventano lunghissime).
2) La suriettività non so proprio da dove iniziare per discuterla; al massimo posso provarci se dimostro che la funzione non è iniettiva.
3) Gli esempi d) ed e) analizzano l'insieme Z modulo 5. Quali elementi devo considerare? C'è un collegamento con le congruenze.
Spero di essere stato esauriente e di non aver violato il regolamento
Rispondete presto
sono nuovo di questo forum e volevo chiedere aiuto riguardo l'argomento indicato nel titolo.
Per capire da dove è sorto il mio dubbio vi riscrivo il testo dell'esercizio che ho trovato su internet per allenarmi per un esonero che ho tra pochi giorni (non chiedo la risoluzione dell'esercizio, altrimenti verrei meno al punto 1.2 del regolamento), e devo trovare un metodo risolutivo coerente con la richiesta.
L'esercizio dice questo:
Discutere l'iniettività e la suriettività della funzione $f: F \to F$ definita da $x \to f(x) = 2x^3 + 5$ quando $F$ è uno dei seguenti campi:
(a) $F = QQ$ (b) $F = RR$ (c) $F = CC$ (d) $F = ZZ_5$ (e) $F = ZZ_7$
Premetto che la definizione di iniettività e suriettività la consco a livello teroico. Inoltre mi era stato consigliato per dimostrare l'iniettività di una funzione devo porre $x_1 = x_2$, ovvero che ad ogni elemento del dominio corrisponde al più un elemento del codominio e che solo se tutti gli elementi del domino hanno una immagine nel codominio si può parlare di iniettività e suriettività.
Da qui arrivo ai miei problemi:
1) Per l'iniettività però io vorrei arrivare ad un metodo risolutivo elegante senza mettermi a sostituire ogni numero che si trova all'interno del dominio per vedere solo quello ha solo un elemento del codominio(perchè quando si tratta di pochi elementi si può pure fare ma quando arriviamo ad infiniti elementi le cose si complicano e diventano lunghissime).
2) La suriettività non so proprio da dove iniziare per discuterla; al massimo posso provarci se dimostro che la funzione non è iniettiva.
3) Gli esempi d) ed e) analizzano l'insieme Z modulo 5. Quali elementi devo considerare? C'è un collegamento con le congruenze.
Spero di essere stato esauriente e di non aver violato il regolamento
Rispondete presto
Risposte
Salve e benvenuto.
Che ad ogni elemento del dominio di un'applicazione debba corrispondere al più un elemento del codominio dell'applicazione non è una condizione utilizzabile ai fini della determinazione dell'eventuale iniettività e/o delle eventuale suriettività dell'applicazione stessa in quanto, in vero, questa è condizione è esplicitamente richiesta dalla definizione medesima di applicazione ed anzi si richiede che ogni elemento del dominio abbia uno ed un solo corrispondente nel codominio. Quindi ti hanno consigliato male.
Non è che le cose diventano lunghissime, è che sono proprio impossibili, se si lavora con insiemi infiniti.
L'iniettività non implica né impedisce la suriettività.
C'è un fortissimo collegamento con le congruenze: \(\mathbb{Z}_{5}\) è l'insieme che si ottiene a partire da \(\mathbb{Z}\) considerando in esso la relazione di congruenza modulo \(5\).
Ciò premesso, ti renderai conto che ti occorre mettere un po' di ordine prima di partire, ergo... cos'è un'applicazione?
P.S.
Trattasi di un esonero di Algebra o di Analisi?
"edoemerson93":
Inoltre mi era stato consigliato per dimostrare l'iniettività di una funzione devo porre \(x_{1}=x_{2}\), ovvero che ad ogni elemento del dominio corrisponde al più un elemento del codominio e che solo se tutti gli elementi del domino hanno una immagine nel codominio si può parlare di iniettività e suriettività.
Che ad ogni elemento del dominio di un'applicazione debba corrispondere al più un elemento del codominio dell'applicazione non è una condizione utilizzabile ai fini della determinazione dell'eventuale iniettività e/o delle eventuale suriettività dell'applicazione stessa in quanto, in vero, questa è condizione è esplicitamente richiesta dalla definizione medesima di applicazione ed anzi si richiede che ogni elemento del dominio abbia uno ed un solo corrispondente nel codominio. Quindi ti hanno consigliato male.
"edoemerson93":
1) Per l'iniettività però io vorrei arrivare ad un metodo risolutivo elegante senza mettermi a sostituire ogni numero che si trova all'interno del dominio per vedere solo quello ha solo un elemento del codominio(perchè quando si tratta di pochi elementi si può pure fare ma quando arriviamo ad infiniti elementi le cose si complicano e diventano lunghissime).
Non è che le cose diventano lunghissime, è che sono proprio impossibili, se si lavora con insiemi infiniti.
"edoemrson92":
2) La suriettività non so proprio da dove iniziare per discuterla; al massimo posso provarci se dimostro che la funzione non è iniettavi.
L'iniettività non implica né impedisce la suriettività.
"edoemerson93":
3) Gli esempi d) ed e) analizzano l'insieme Z modulo 5. Quali elementi devo considerare? C'è un collegamento con le congruenze.
C'è un fortissimo collegamento con le congruenze: \(\mathbb{Z}_{5}\) è l'insieme che si ottiene a partire da \(\mathbb{Z}\) considerando in esso la relazione di congruenza modulo \(5\).
Ciò premesso, ti renderai conto che ti occorre mettere un po' di ordine prima di partire, ergo... cos'è un'applicazione?
P.S.
Trattasi di un esonero di Algebra o di Analisi?
Algebra. Purtroppo dalla tua risposta ho capito che devo partire proprio da 0.
L'importante è che ci arrivi da solo. Ti ringrazio comunque di questi chiarimenti. Mi metto subito a rivedere queste cose.
Una funzione $f:A -> B$ è iniettiva se:
$AAa1,a2 in A$ con $a1!=a2 => f(a1)!=f(a2)$
Però una funzione $f$ è iniettiva se e solo se ammette inversa sinistra:
$f$ iniettiva $<=> EEg:B -> A$ tale che $g \circ f = 1_A$
quindi devi trovare una funzione $g$ che ti consente, nell'ambito del dominio della funzione, di "ottenere" la funzione identica in $A$.
$AAa1,a2 in A$ con $a1!=a2 => f(a1)!=f(a2)$
Però una funzione $f$ è iniettiva se e solo se ammette inversa sinistra:
$f$ iniettiva $<=> EEg:B -> A$ tale che $g \circ f = 1_A$
quindi devi trovare una funzione $g$ che ti consente, nell'ambito del dominio della funzione, di "ottenere" la funzione identica in $A$.
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