Discussione determinante equazione cubica
Comincio col dire che non so se sia la sezione giusta perciò mi scuso in anticipo. Nella sezione scuola secondaria non ho trovato aiuto alcuno.
Sono alle prese con la mia tesina che è già stata consegnata al prof che la deve leggere salvo per una piccola cosa che però è di fondamentale importanza perciò spero possiate darmi una mano .
Allora discutendo i vari casi per il Determinante >, <, = a 0 mi trovo in alcune difficoltà.
Nel caso in cui è maggiore di zero trovo ovviamente un solo valore di X (senza adoperare i complessi) questo è evidente anche perchè per risolverla l'ho trasformata in una cubica del tipo
$ y^(3) + py + q = 0 $ che incontra l'asse cartesiano una sola volta. ( se i coefficenti sono tutti positivi )
il caso minore di zero ovver l'irriducibilis riesco a dimostrare, anche senza fornire troppe nozioni sui numeri complessi, che le coppie di soluzioni giuste vanno ad eliminare la parte immaginaria e trovo quindi i tre valori reali
Il problema è nel caso = 0
Se la formula cardanica fornisce solo un valore ( laddove non uso i numeri complessi ) non capisco perchè wikipedia e altre varie fonti mi danno due risultati, in particolare:
$ y1 = 2sqrt(-p/3) $
$ y2 = y3 = -sqrt(-p/3) $
quando in realtà applicando la formula
$ y = root(3)(-q/2 + sqrt((q)^(2)/4 + (p)^(3)/27 ) ) + root(3)(-q/2 - sqrt((q)^(2)/4 + (p)^(3)/27 ) ) $
non trovo come arrivare li se Delta = 0 --> $ y = root(3)(-q/2 ) + root(3)(-q/2) $
Come ultima cosa. Esistono alcuni casi particolari tipo
$ x^(3) + x = 2 $
In cui la formula mi da per risultato $ root(3)(1+2/3sqrt(7/3) ) + root(3)(1-2/3sqrt(7/3) ) $ mentre la soluzione banale è 1 lo si vede ad occhio. La cosa sorprendente è che se ora con la calcolatrice fate quella roba li vi verrà fuori 1.
Questo è un caso molto interessante ma non trovo molto a riguardo! qualcuno sa darmi qualche dritta?
Sarei molto grato se qualcuno mi aiutasse poiché entro domani a mezzogiorno dovrei consegnare ufficialmente alla commissione il pdf da provare sul computer.
Sono alle prese con la mia tesina che è già stata consegnata al prof che la deve leggere salvo per una piccola cosa che però è di fondamentale importanza perciò spero possiate darmi una mano .
Allora discutendo i vari casi per il Determinante >, <, = a 0 mi trovo in alcune difficoltà.
Nel caso in cui è maggiore di zero trovo ovviamente un solo valore di X (senza adoperare i complessi) questo è evidente anche perchè per risolverla l'ho trasformata in una cubica del tipo
$ y^(3) + py + q = 0 $ che incontra l'asse cartesiano una sola volta. ( se i coefficenti sono tutti positivi )
il caso minore di zero ovver l'irriducibilis riesco a dimostrare, anche senza fornire troppe nozioni sui numeri complessi, che le coppie di soluzioni giuste vanno ad eliminare la parte immaginaria e trovo quindi i tre valori reali
Il problema è nel caso = 0
Se la formula cardanica fornisce solo un valore ( laddove non uso i numeri complessi ) non capisco perchè wikipedia e altre varie fonti mi danno due risultati, in particolare:
$ y1 = 2sqrt(-p/3) $
$ y2 = y3 = -sqrt(-p/3) $
quando in realtà applicando la formula
$ y = root(3)(-q/2 + sqrt((q)^(2)/4 + (p)^(3)/27 ) ) + root(3)(-q/2 - sqrt((q)^(2)/4 + (p)^(3)/27 ) ) $
non trovo come arrivare li se Delta = 0 --> $ y = root(3)(-q/2 ) + root(3)(-q/2) $
Come ultima cosa. Esistono alcuni casi particolari tipo
$ x^(3) + x = 2 $
In cui la formula mi da per risultato $ root(3)(1+2/3sqrt(7/3) ) + root(3)(1-2/3sqrt(7/3) ) $ mentre la soluzione banale è 1 lo si vede ad occhio. La cosa sorprendente è che se ora con la calcolatrice fate quella roba li vi verrà fuori 1.
Questo è un caso molto interessante ma non trovo molto a riguardo! qualcuno sa darmi qualche dritta?
Sarei molto grato se qualcuno mi aiutasse poiché entro domani a mezzogiorno dovrei consegnare ufficialmente alla commissione il pdf da provare sul computer.
Risposte
[xdom="Martino"]Ciao. Ti ricordo che il maiuscolo nel titolo è vietato (ti prego di provvedere, cliccando sul tasto "modifica" nel tuo intervento), e anzi ti pregherei di eliminare la scritta "urgente" (che non è proprio in linea con lo spirito del forum). Buona continuazione.[/xdom]
Ciao. Ti dico solo una cosa per quanto riguarda il fatto che vien fuori "uno". dipende molto probabilmente dalla calcolatrice.ùMai affidarsi troppo ai calcolatori.
Ad esempio prova a dividere 1 per due
il risultato per due..il risultato del risultato per due.. itera il procedimento n volte, alla fine stà sicuro che o ti esce error oppure 0. Si tratta di un caso particolare? No non credo.
Seconda cosa,come mai hai scelto cardano da mettere nella tesina? E' prematuro discutere di questi argomenti, secondo me.
Ad esempio prova a dividere 1 per due
il risultato per due..il risultato del risultato per due.. itera il procedimento n volte, alla fine stà sicuro che o ti esce error oppure 0. Si tratta di un caso particolare? No non credo.
Seconda cosa,come mai hai scelto cardano da mettere nella tesina? E' prematuro discutere di questi argomenti, secondo me.
La tesina era partita molto bene nel senso che avrei potuto metterci un sacco di cose carine però vista lo scarso interesse dei prof eccetera mi è un pò "scesa" come si dice dalle mie parti, oramai però sono qua e cambiarla non ha senso.
Alla fine spero e penso che la parte storica che ho ben curato possa interessare a tutti, posso collegarla comunque con fisica e i circuiti a corrente alternata.
Non mi sembrano argomenti eccessivamente prematuri, è una tesina e come tale richiede di studiarsi cose in più, ovvio che non ci vado a mettere dentro il piano complesso, e il teorema fondamentale dell'algebra, e il teorema di ruffini-abel.. li accennerò senza entrare nel particolare.
Per quanto riguarda l'approssimazione, può darsi tu abbia ragione.... però suona strana come coincidenza. E non è l'unico esempio posso dartene altri.
$ x^(3) -2x - 4 = 0 $
se lo risolvi con le formule e poi lo scomponi con ruffini e confronti i risultati con matlab otterrai il medesimo risultato.
Sembra una strana coincidenza... Tartaglia nei suoi lavori si è occupato spesso della semplificazioni di radicali di questo tipo ma direttamente non sono riuscito a leggere nulla.
Alla fine spero e penso che la parte storica che ho ben curato possa interessare a tutti, posso collegarla comunque con fisica e i circuiti a corrente alternata.
Non mi sembrano argomenti eccessivamente prematuri, è una tesina e come tale richiede di studiarsi cose in più, ovvio che non ci vado a mettere dentro il piano complesso, e il teorema fondamentale dell'algebra, e il teorema di ruffini-abel.. li accennerò senza entrare nel particolare.
Per quanto riguarda l'approssimazione, può darsi tu abbia ragione.... però suona strana come coincidenza. E non è l'unico esempio posso dartene altri.
$ x^(3) -2x - 4 = 0 $
se lo risolvi con le formule e poi lo scomponi con ruffini e confronti i risultati con matlab otterrai il medesimo risultato.
Sembra una strana coincidenza... Tartaglia nei suoi lavori si è occupato spesso della semplificazioni di radicali di questo tipo ma direttamente non sono riuscito a leggere nulla.
ti consiglio solo di usare i termini giusti, perchè se "quello" lo chiami determinante qualcuno della commissione potrebbe prendersela a male...
non pensavo fosse una scrittura non corretta .. discriminante/determinante...prenderò per buono solo il primo. Qualcuno che può aiutare?
"NemboKill":
$ y = root(3)(-q/2 + sqrt((q)^(2)/4 + (p)^(3)/27 ) ) + root(3)(-q/2 - sqrt((q)^(2)/4 + (p)^(3)/27 ) ) $
forse non ho capito la domanda, ma mi sembra di ricordare che quell'$y$ scritto sopra ti serve per risalire alle soluzioni, ma non è la soluzione (devi considerare anche, mi pare, le radici cubiche dell'unità).
da lì trovi la famosa forma $y=u+v$ da cui discende tutto il resto tra cui la combinazione lineare di soluzioni con riferimento al segno del $\Delta$
EDIT: scusa in realtà è una soluzione.
"NemboKill":
Come ultima cosa. Esistono alcuni casi particolari tipo
$ x^(3) + x = 2 $
In cui la formula mi da per risultato $ root(3)(1+2/3sqrt(7/3) ) + root(3)(1-2/3sqrt(7/3) ) $ mentre la soluzione banale è 1 lo si vede ad occhio.
stessa cosa, quella formula non ti dà la soluzione diretta dell'equazione
EDIT: scusa ho detto delle cacchiate, quella formula ti dà una soluzione dell'equazione
Beh di stranezza non ce ne vedo molta.
comunque , prova a scomporre quel polinomio
Abbiamo che $f(X) = X^3+x-2 $
Troviamone le radici
Ovviamente
$f(1) = 1+1-2=0$ quindi 1 è radice e dal teorema di ruffini si ha che $f(x) = (X-1)h(x)$ per qualche $h(x) in Q[X}$
Facendo la divisione di f per h ottieni che
$h(x) = x^2+x+2$ , giusto?.
$\delta = 1^2-4*1*2= 1-8 = -7 <0$ $h(x) $ è dunque irriducibile sia in $q[x] $ che in $R[x]$, non avendo radici.
Troviamo le radici in $CC$
hai che $(-1+-(root(2)(7))i)/2) $ sono radici di h.
Dunque posto $\sigma =$ $(-1+(root(2)(7))i)/2) $
$\tau=$$(-1-(root(2)(7))i)/2) $
hai che
$h(x) = (x-\sigma)(x-\tau)$
Di conseguenza, fattorizzato
$f(x) = (x-1)(x-\sigma)(x-\tau)$.
allora quella che hai trovato tu è l'unica radice razionale (reale)di tale polinomio.
comunque , prova a scomporre quel polinomio
Abbiamo che $f(X) = X^3+x-2 $
Troviamone le radici
Ovviamente
$f(1) = 1+1-2=0$ quindi 1 è radice e dal teorema di ruffini si ha che $f(x) = (X-1)h(x)$ per qualche $h(x) in Q[X}$
Facendo la divisione di f per h ottieni che
$h(x) = x^2+x+2$ , giusto?.
$\delta = 1^2-4*1*2= 1-8 = -7 <0$ $h(x) $ è dunque irriducibile sia in $q[x] $ che in $R[x]$, non avendo radici.
Troviamo le radici in $CC$
hai che $(-1+-(root(2)(7))i)/2) $ sono radici di h.
Dunque posto $\sigma =$ $(-1+(root(2)(7))i)/2) $
$\tau=$$(-1-(root(2)(7))i)/2) $
hai che
$h(x) = (x-\sigma)(x-\tau)$
Di conseguenza, fattorizzato
$f(x) = (x-1)(x-\sigma)(x-\tau)$.
allora quella che hai trovato tu è l'unica radice razionale (reale)di tale polinomio.
"Kashaman":
Beh di stranezza non ce ne vedo molta.
comunque , prova a scomporre quel polinomio
Abbiamo che $f(X) = X^3+x-2 $
Troviamone le radici
Ovviamente
$f(1) = 1+1-2=0$ quindi 1 è radice e dal teorema di ruffini si ha che $f(x) = (X-1)h(x)$ per qualche $h(x) in Q[X}$
Facendo la divisione di f per h ottieni che
$h(x) = x^2+x+2$ , giusto?.
$\delta = 1^2-4*1*2= 1-8 = -7 <0$ $h(x) $ è dunque irriducibile sia in $q[x] $ che in $R[x]$, non avendo radici.
Troviamo le radici in $CC$
hai che $(-1+-(root(2)(7))i)/2) $ sono radici di h.
Dunque posto $\sigma =$ $(-1+(root(2)(7))i)/2) $
$\tau=$$(-1-(root(2)(7))i)/2) $
hai che
$h(x) = (x-\sigma)(x-\tau)$
Di conseguenza, fattorizzato
$f(x) = (x-1)(x-\sigma)(x-\tau)$.
allora quella che hai trovato tu è l'unica radice razionale (reale)di tale polinomio.
Ok questo è un modo di aggirare il problema però, non spiega come si arriva al risultato di wiki partendo dalla formula e imponendo che il discriminante sia uguale a zero.
Penso che la risposta la trovi dopo aver studiato algebra 3.
Datti un'occhiata qua : http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete2/al ... ione14.pdf .
Per arrivare al processo risolutivo , usato da cardano, dovresti sapere un bel po di cosine. Esperienza che non hai al liceo. Lascia stare, impara come se fosse una favoletta e capirai in futuro, se sceglierai di intraprendere la carriera matematica.
Datti un'occhiata qua : http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete2/al ... ione14.pdf .
Per arrivare al processo risolutivo , usato da cardano, dovresti sapere un bel po di cosine. Esperienza che non hai al liceo. Lascia stare, impara come se fosse una favoletta e capirai in futuro, se sceglierai di intraprendere la carriera matematica.
mah io penso che ricavare la formula risolutiva siano passaggi che sanno fare tutti alle superiori, se poi mi vieni a parlare di gruppi di galois e altro ok ...
Arrivare a far vedere che, nel caso in cui il discriminante è minore di zero, la parte immaginaria si elide e vengono fuori 3 soluzioni reali si fa benissimo...
Penso che per il caso in cui il discriminante sia uguale a zero ci saranno dei passaggi algebrici di qualche tipo che però nessuno sito riporta.
Arrivare a far vedere che, nel caso in cui il discriminante è minore di zero, la parte immaginaria si elide e vengono fuori 3 soluzioni reali si fa benissimo...
Penso che per il caso in cui il discriminante sia uguale a zero ci saranno dei passaggi algebrici di qualche tipo che però nessuno sito riporta.
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