Discriminante
Ragazzi riuscireste a calcolare il discriminante di $ x^5+x+1 $ illustrando i procedimenti??
Risposte
Salve.
Il discriminante $Delta$ è un termine associato ad un'equazione di secondo grado del tipo $ax^2+bx+c=0$, con $a!=0$.
Esso è dato da $b^2-4ac$, quindi, nel tuo caso, avendo $a=b=c=1$, ottieni $Delta=-3$.
Saluti.
Il discriminante $Delta$ è un termine associato ad un'equazione di secondo grado del tipo $ax^2+bx+c=0$, con $a!=0$.
Esso è dato da $b^2-4ac$, quindi, nel tuo caso, avendo $a=b=c=1$, ottieni $Delta=-3$.
Saluti.
Eh ma ha detto $x^5$, è un polinomio di grado 5. E sinceramente non saprei se esiste un discriminante attribuito a polinomi di gradi arbitrari
Hai ragione, scusami per la mia svista.
Comunque - per chiarire il tuo dubbio - le equazioni polinomiali di grado superiore al quarto, nel caso più generale, non ammettono una formula risolutiva per radicali: questo risultato fu dimostrato quasi 200 anni fa da un matematico francese, Evariste Galois (1811-1832).
Quindi, nel tuo esempio, non parlerei affatto di discriminante.
Saluti e, di nuovo, scusami.
Comunque - per chiarire il tuo dubbio - le equazioni polinomiali di grado superiore al quarto, nel caso più generale, non ammettono una formula risolutiva per radicali: questo risultato fu dimostrato quasi 200 anni fa da un matematico francese, Evariste Galois (1811-1832).
Quindi, nel tuo esempio, non parlerei affatto di discriminante.
Saluti e, di nuovo, scusami.
Esiste un metodo algoritmico, passa attraverso il cosiddetto "risultante". Vedi per esempio qui. Se vuoi verificare i conti puoi sempre usare wolfram alpha (click). Sarebbe comunque utile fornire un po' di contesto. Dove hai trovato l'esercizio?
@alessandro8,
detto così mi sembra "for dummies", non te la prendere..[/strike] mi domando, se ho capito bene quanto hai scritto, perchè non deve esistere il discriminante per polinomi di grado \(n=5\) o anche maggiori ?!
"alessandro8":[strike]:?
le equazioni polinomiali di grado superiore al quarto, nel caso più generale, non ammettono una formula risolutiva per radicali: questo risultato fu dimostrato quasi 200 anni fa da un matematico francese, Evariste Galois (1811-1832).
Quindi, nel tuo esempio, non parlerei affatto di discriminante.
Saluti e, di nuovo, scusami.
detto così mi sembra "for dummies", non te la prendere..[/strike] mi domando, se ho capito bene quanto hai scritto, perchè non deve esistere il discriminante per polinomi di grado \(n=5\) o anche maggiori ?!
Secondo me perché il discriminante è caratteristico delle equazioni di secondo grado, infatti il suo segno discrimina le soluzioni, ovvero
$Delta >0$ indica due soluzioni reali distinte
$Delta =0$ due soluzioni reali coincidenti
$Delta >0$ due soluzioni complesse coniugate (non reali)
Nell'equazione $x^5+x+1=0$ che cosa si può discriminare? C'è un'unica soluzione reale, le altre 4 sono complesse non reali, a due a due coniugate.
$Delta >0$ indica due soluzioni reali distinte
$Delta =0$ due soluzioni reali coincidenti
$Delta >0$ due soluzioni complesse coniugate (non reali)
Nell'equazione $x^5+x+1=0$ che cosa si può discriminare? C'è un'unica soluzione reale, le altre 4 sono complesse non reali, a due a due coniugate.
"garnak.olegovitc":
@alessandro8,
[quote="alessandro8"]le equazioni polinomiali di grado superiore al quarto, nel caso più generale, non ammettono una formula risolutiva per radicali: questo risultato fu dimostrato quasi 200 anni fa da un matematico francese, Evariste Galois (1811-1832).
Quindi, nel tuo esempio, non parlerei affatto di discriminante.
Saluti e, di nuovo, scusami.
detto così mi sembra "for dummies", non te la prendere.. mi domando, se ho capito bene quanto hai scritto, perchè non deve esistere il discriminante per polinomi di grado \( n=5 \) o anche maggiori ?![/quote]Non vedo affatto come una spiegazione come quella che ho cercato di dare affinchè questa potesse essere meglio compresa da altri, trattandosi di un concetto tutt'altro che elementare, possa essere classificata con una locuzione che offende certamente non tanto me, quanto piuttosto qualsiasi altro utente del forum interessato a comprendere meglio certi concetti.
Comunque, per tornare alla questione precedente, la non esistenza di un discriminante, nel caso di un'equazione polinomiale di grado superiore al quarto, è semplicemente dovuta alla non esistenza di una formula risolutiva generale per radicali.
Potrebbero esistere altri tipi di formule risolutive, ma queste non possono essere esprimibili elementarmente tramite dei radicali; ad ogni modo io non conosco nessuna di queste formule "alternative".
Questo risultato è una delle conseguenze di una teoria dell'algebra superiore (che coinvolge dei particolari gruppi di permutazione), detta "teoria di Galois", dal nome del matematico che l'aveva introdotta.
Casomai fossi interessato a questa teoria non proprio "for dummies" (per usare la tua modalità espressiva), potrai sempre approfondire autonomamente, ma certamente non potrai fare conto sul sottoscritto, anche perchè non ho mai avuto occasione di approfondire l'argomento.
Sono davvero spiacente - non offeso o arrabbiato - per aver letto ciò che ho letto e, a questo punto, mi pare inutile aggiungere altro.
Distinti saluti.
@alessandro8,
usando wolfram alpha (come suggerito da Martino), anche perchè non ho intenzione di scrivere uno ad uno i monomi, il discriminante \(\Delta\) di un polinomio \(f\) di grado \(n=5\) è $$\Delta_f=b^2 c^2 d^2 e^2 - 4 a c^3 d^2 e^2 - 4 b^3 d^3 e^2 + 18 a b c d^3 e^2 - 27 a^2 d^4 e^2 - 4 b^2 c^3 e^3 + 16 a c^4 e^3 + 18 b^3 c d e^3 - 80 a b c^2 d e^3 - 6 a b^2 d^2 e^3 + 144 a^2 c d^2 e^3 - 27 b^4 e^4 + 144 a b^2 c e^4 - 128 a^2 c^2 e^4 - 192 a^2 b d e^4 + 256 a^3 e^5 - 4 b^2 c^2 d^3 g + 16 a c^3 d^3 g + 16 b^3 d^4 g - 72 a b c d^4 g + 108 a^2 d^5 g + 18 b^2 c^3 d e g - 72 a c^4 d e g - 80 b^3 c d^2 e g + 356 a b c^2 d^2 e g + 24 a b^2 d^3 e g - 630 a^2 c d^3 e g - 6 b^3 c^2 e^2 g + 24 a b c^3 e^2 g + 144 b^4 d e^2 g - 746 a b^2 c d e^2 g + 560 a^2 c^2 d e^2 g + 1020 a^2 b d^2 e^2 g - 36 a b^3 e^3 g + 160 a^2 b c e^3 g - 1600 a^3 d e^3 g - 27 b^2 c^4 g^2 + 108 a c^5 g^2 + 144 b^3 c^2 d g^2 - 630 a b c^3 d g^2 - 128 b^4 d^2 g^2 + 560 a b^2 c d^2 g^2 + 825 a^2 c^2 d^2 g^2 - 900 a^2 b d^3 g^2 - 192 b^4 c e g^2 + 1020 a b^2 c^2 e g^2 - 900 a^2 c^3 e g^2 + 160 a b^3 d e g^2 - 2050 a^2 b c d e g^2 + 2250 a^3 d^2 e g^2 - 50 a^2 b^2 e^2 g^2 + 2000 a^3 c e^2 g^2 + 256 b^5 g^3 - 1600 a b^3 c g^3 + 2250 a^2 b c^2 g^3 + 2000 a^2 b^2 d g^3 - 3750 a^3 c d g^3 - 2500 a^3 b e g^3 + 3125 a^4 g^4$$ mostruoso, vero? Il numero di monomi di \( \Delta_f\) aumenta vertiginosamente all'aumentare di \(n\) (non ricordo la formula precisa, a dire il vero non ricordo se esiste
...). Ora prendi i polinomi su \(\Bbb{Q}\) $$f:=4-4x+9x^3-5x^4+x^5$$$$g:=-3+7x+9x^2+8x^3+3x^4+x^5$$$$h:=2+3x+5x^4+x^5$$ i loro determinanti sono rispettivamente: $$\Delta_f=3956^2$$$$\Delta_g=1143^2$$$$\Delta_h=4557333$$ esistono ed \(f,g,h\) sono polinomi di grado \(n=5\)..
(CLIC)
usando wolfram alpha (come suggerito da Martino), anche perchè non ho intenzione di scrivere uno ad uno i monomi, il discriminante \(\Delta\) di un polinomio \(f\) di grado \(n=5\) è $$\Delta_f=b^2 c^2 d^2 e^2 - 4 a c^3 d^2 e^2 - 4 b^3 d^3 e^2 + 18 a b c d^3 e^2 - 27 a^2 d^4 e^2 - 4 b^2 c^3 e^3 + 16 a c^4 e^3 + 18 b^3 c d e^3 - 80 a b c^2 d e^3 - 6 a b^2 d^2 e^3 + 144 a^2 c d^2 e^3 - 27 b^4 e^4 + 144 a b^2 c e^4 - 128 a^2 c^2 e^4 - 192 a^2 b d e^4 + 256 a^3 e^5 - 4 b^2 c^2 d^3 g + 16 a c^3 d^3 g + 16 b^3 d^4 g - 72 a b c d^4 g + 108 a^2 d^5 g + 18 b^2 c^3 d e g - 72 a c^4 d e g - 80 b^3 c d^2 e g + 356 a b c^2 d^2 e g + 24 a b^2 d^3 e g - 630 a^2 c d^3 e g - 6 b^3 c^2 e^2 g + 24 a b c^3 e^2 g + 144 b^4 d e^2 g - 746 a b^2 c d e^2 g + 560 a^2 c^2 d e^2 g + 1020 a^2 b d^2 e^2 g - 36 a b^3 e^3 g + 160 a^2 b c e^3 g - 1600 a^3 d e^3 g - 27 b^2 c^4 g^2 + 108 a c^5 g^2 + 144 b^3 c^2 d g^2 - 630 a b c^3 d g^2 - 128 b^4 d^2 g^2 + 560 a b^2 c d^2 g^2 + 825 a^2 c^2 d^2 g^2 - 900 a^2 b d^3 g^2 - 192 b^4 c e g^2 + 1020 a b^2 c^2 e g^2 - 900 a^2 c^3 e g^2 + 160 a b^3 d e g^2 - 2050 a^2 b c d e g^2 + 2250 a^3 d^2 e g^2 - 50 a^2 b^2 e^2 g^2 + 2000 a^3 c e^2 g^2 + 256 b^5 g^3 - 1600 a b^3 c g^3 + 2250 a^2 b c^2 g^3 + 2000 a^2 b^2 d g^3 - 3750 a^3 c d g^3 - 2500 a^3 b e g^3 + 3125 a^4 g^4$$ mostruoso, vero? Il numero di monomi di \( \Delta_f\) aumenta vertiginosamente all'aumentare di \(n\) (non ricordo la formula precisa, a dire il vero non ricordo se esiste
...). Ora prendi i polinomi su \(\Bbb{Q}\) $$f:=4-4x+9x^3-5x^4+x^5$$$$g:=-3+7x+9x^2+8x^3+3x^4+x^5$$$$h:=2+3x+5x^4+x^5$$ i loro determinanti sono rispettivamente: $$\Delta_f=3956^2$$$$\Delta_g=1143^2$$$$\Delta_h=4557333$$ esistono ed \(f,g,h\) sono polinomi di grado \(n=5\)..(CLIC)
@garnak non c'è motivo di essere così aggressivo...
@alessandro8, il discriminante è definito per polinomi di ogni grado (garnak ha fornito un link di wikipedia al riguardo e anch'io ho fornito un link nel precedente intervento).
@alessandro8, il discriminante è definito per polinomi di ogni grado (garnak ha fornito un link di wikipedia al riguardo e anch'io ho fornito un link nel precedente intervento).
"alessandro8":
le equazioni polinomiali di grado superiore al quarto, nel caso più generale, non ammettono una formula risolutiva per radicali: questo risultato fu dimostrato quasi 200 anni fa da un matematico francese, Evariste Galois (1811-1832).
Attenzione, io parlavo di equazioni di grado superiore al quarto, ma nel caso generale, non in un caso specifico come quello proposto all'inizio di questa discussione.
Parlando del caso più "semplice" (cioè con il minor "grado proibitivo", il quinto) c'è, per caso, qualcuno che riesca a scrivere una formula risolutiva, esclusivamente per radicali che consenta di ricavare le soluzioni di $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0$ quando tutti i coefficienti sono non nulli?
Saluti.
P.S. Per saperne di più, segnalo questo link.
@alessandro8, ok ma cosa c'entra la risolubilità per radicali col discriminante?
Il discriminante è definito per ogni polinomio (e si può sempre esprimere a partire dai suoi coefficienti). Ma non vedo cosa c'entri la risolubilità per radicali.
Il discriminante è definito per ogni polinomio (e si può sempre esprimere a partire dai suoi coefficienti). Ma non vedo cosa c'entri la risolubilità per radicali.
"Martino":
@alessandro8, ok ma cosa c'entra la risolubilità per radicali col discriminante?
Il discriminante è definito per ogni polinomio (e si può sempre esprimere a partire dai suoi coefficienti). Ma non vedo cosa c'entri la risolubilità per radicali.
Riconosco che hai ragione quando, in sostanza, mi si fa presente il fatto di essere io un po' "uscito dal seminato", come si suol dire; probabilmente la mia svista era più dovuta ad una mia erronea interpretazione sul ruolo del discriminante, essendomi fatto condizionare dalle equazioni di secondo grado (il caso più tipico) e su questo riconosco il mio pieno torto.
Effettivamente, come tu fai notare, il discriminante è sempre definibile a prescindere dal grado del polinomio, ma la definizione di discriminante, di per se stessa, spesso rimane circoscritta in un ambito puramente formale, dato che il più delle volte, per poter calcolare il discriminante, bisogna avere aprioristicamente alcune informazioni sulle radici del polinomio.
Poi, di fatto, il discriminante si riesce a calcolare, ma il più delle volte non ci si riesce tramite la definizione diretta.
Ti ringrazio sinceramente per questo scambio di idee, il confronto costruttivo è sempre utile.
Saluti.
In effetti per il grado 2 determinare il discriminante equivale a determinare le radici 
Grazie a te!
Grazie a te!
Proprio oggi leggevo su un forum un inglese un intervento molto interessante a questo riguardo:
http://math.stackexchange.com/a/49264/8157
La domanda è, grosso modo, come ricavare la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.
http://math.stackexchange.com/a/49264/8157
La domanda è, grosso modo, come ricavare la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.
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