Dire se una classe è invertibile in Z e calcolare l'inversa e l'opposta
Salve a tutti,
Sto studiando per l'esame di matematica discreta. Su suggerimento dei miei colleghi, studio facendo gli esercizi che il prof. ha lasciato negli esami precedenti. L'esercizio nel quale ho riscontrato dei problemi è il seguente:
Quello che ho fatto fin'ora è stato fare la divisione tra 1111 e 61 ottenendo che:
Adesso non ho praticamente idea di come continuare, spero mi possiate aiutare.
Grazie mille
P.S. Mi scuso anticipatamente se ho sbagliato tag
Sto studiando per l'esame di matematica discreta. Su suggerimento dei miei colleghi, studio facendo gli esercizi che il prof. ha lasciato negli esami precedenti. L'esercizio nel quale ho riscontrato dei problemi è il seguente:
Dire se la classe [1111^2222] è invertibilein Z61 .In casodirispostaaffermativa,calcolare l’inversae l’opposta.
Quello che ho fatto fin'ora è stato fare la divisione tra 1111 e 61 ottenendo che:
1111=61*18+13 ---> 1111-13=61*18 ---> 1111=13 (mod 61) ---> 1111^2222 =13^2222 (mod 61)
Adesso non ho praticamente idea di come continuare, spero mi possiate aiutare.
Grazie mille
P.S. Mi scuso anticipatamente se ho sbagliato tag
Risposte
Tieni presente che per ogni $a in ZZ$ tale che $(a,61)=1$ si ha $a^{varphi(61)}-=1 (mod 61)$
Dunque $13^(60)-=1 (mod 61)$
Dunque $13^(60)-=1 (mod 61)$
Avevo già pensato al fatto che 61 è numero primo quindi non ha divisori, ma non ho capito il perchè dopo il 13 viene elevato a 60 e non a 61
Perchè $varphi(p)= p-1$ per ogni $p$ numero primo
($varphi$ è la funzione di Eulero)
($varphi$ è la funzione di Eulero)
Ok ma adesso come dovrei continuare?
Calcoliamo quoziente e resto delle divisione di $2222$ per $60$.
Si ha $2222= 37*60 +2$
Dunque, ricapitolando il tutto,
$1111^2222 -= 13^2222= 13^(37*60 +2)= 13^(60*37)* 13^2 -= (13^60)^37*13^2-=1^37 *13^2 =13^2 (mod 61)$
Si ha $2222= 37*60 +2$
Dunque, ricapitolando il tutto,
$1111^2222 -= 13^2222= 13^(37*60 +2)= 13^(60*37)* 13^2 -= (13^60)^37*13^2-=1^37 *13^2 =13^2 (mod 61)$
Ok, adesso dovrei dire che essendo $ 13^60 -= 1 (mod 61) $ segue che $ (13^60)^37 -= 1^37 -= 1(mod61) $
e quindi $ 13^2222 -= (16^60)^37 *13^2 -= 13^2(mod61) $ segue che $ 1111^2222 -= 13^2222 -= 13^2(mod 61) $
Adesso come dovrei concludere? (Sempre se quello che ho scritto non sono stupidagini totali)
e quindi $ 13^2222 -= (16^60)^37 *13^2 -= 13^2(mod61) $ segue che $ 1111^2222 -= 13^2222 -= 13^2(mod 61) $
Adesso come dovrei concludere? (Sempre se quello che ho scritto non sono stupidagini totali)
no, non è $13$. è $13^2$
Ok l'ho corretto
Bene. Quanto fa $13^2 mod 61$?
47 Che quindi è il $ [1111]^2222 $ in Z61
47 Che quindi è il $ [1111]^2222 $ in Z61
Ok. Ora dobbiamo trovare l'opposto e l'inverso.
L'opposto è $-47$, giusto?
L'opposto è $-47$, giusto?
Secondo me è giusto....la classe opposta di $ [ 47 ] _61= [ -47 ]_61= [ 61-47 ]_61= [ 14 ] _61$
Mentre $ [ 47 ]_61^(-1) = [ 13 ]_61 $
Mentre $ [ 47 ]_61^(-1) = [ 13 ]_61 $
Grazie mille 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo