Dire se $(Q[x])/((x^2+1))$ è un campo

[jitter1]

Userei il fatto che $x^2 +1$ è irriducibile, quindi $(x^2+1)$ è massimale e $(Q[x])/((x^2+1))$ è un campo.
Se nella domanda avessi avuto $Z[x]$ al posto di $Q[x]$ avrei potuto dire la stessa cosa?

[nine98100]

"jitter":Userei il fatto che $x^2 +1$ è irriducibile, quindi $(x^2+1)$ è massimale e $(Q[x])/((x^2+1))$ è un campo.
Se nella domanda avessi avuto $Z[x]$ al posto di $Q[x]$ avrei potuto dire la stessa cosa?

$(x^2+1)$ è irriducibile in $Z[x]$ , pertanto usando il tuo stesso ragionamento concludiamo che: $(Z[x])/((x^2+1))$ è un campo. (Nota che ciò vale perché $Z[x]$ è un anello.)

[jitter1]

Perfetto grazie mille

[_fabricius_1]

Ennò!
Il fatto che \( x^2+1 \) sia irriducibile non garantisce affatto che l'ideale che genera sia massimale in \(\mathbb Z[x]\), e infatti non lo è! Ad esempio si ha l'inclusione stretta \( (x^2+1)\subset (x^2+1,2).\)

[jitter1]

Ahia, hai ragione. Per Q[x] posso dirlo perché è un PID...
grazie per la correzione!

[Shocker1]

"jitter":Ahia, hai ragione. Per Q[x] posso dirlo perché è un PID...
grazie per la correzione!

Ciao,


ti segnalo questo intervento di Martino sugli ideali massimali di $\mathbb{Z}[x]$ e questa dispensina(una pagina) che mi ha linkato Martino in un altro topic. Magari può tornarti utile


Ciao

[jitter1]

Uh sì, può venirmi utile darci un'occhiata, anche perché è un argomento nuovo per me e sto facendo un po' di fatica a crearmi un quadro sintetico chiaro. Grazie