Dire se il gruppo moltiplicativo U (Z18) è ciclico o no

[ilmatty98s]

Potreste dire come faccio a determinare quando un gruppo è ciclico o meno?
Preferirei partire da degli esercizi più semplici per poi arrivare a fare fio che ho scritto nella domanda?
Potreste aiutarmi? Grazie

[algibro]

Credo tu debba individuare un elemento $a \in U(ZZ_18)$ le cui potenze esauriscono tutto $U(ZZ_18)$, ossia un elemento $a$ tale che $\langle a \rangle= {a^i : i \in ZZ}= U(ZZ_18)$. Se questo elemento esiste allora il gruppo è ciclico.

[ilmatty98s]

"algibro":Credo tu debba individuare un elemento $a \in U(ZZ_18)$ le cui potenze esauriscono tutto $U(ZZ_18)$, ossia un elemento $a$ tale che $\langle a \rangle= {a^i : i \in ZZ}= U(ZZ_18)$. Se questo elemento esiste allora il gruppo è ciclico.

Grazie per la risposta... ma potresti dirmi come faccio a trovarlo questo elemento?

[algibro]

"ilMatty98":[quote="algibro"]Credo tu debba individuare un elemento $a \in U(ZZ_18)$ le cui potenze esauriscono tutto $U(ZZ_18)$, ossia un elemento $a$ tale che $\langle a \rangle= {a^i : i \in ZZ}= U(ZZ_18)$. Se questo elemento esiste allora il gruppo è ciclico.

Grazie per la risposta... ma potresti dirmi come faccio a trovarlo questo elemento?[/quote]

In $U(ZZ_18)$ ci sono "solo" $6$ elementi, compresa la classe di resto $1$ modulo $18$ (che escluderei quale eventuale generatore). Un'idea potrebbe essere quella di contare le potenze dei restanti $5$ elementi.
Una volta trovato un generatore $g$, e così avremmo che il gruppo è ciclico, ci sono in tutto $\phi(n)$ generatori, dove $\phi$ è la funzione di Eulero e $n=6$.
Infatti $g^h$ è un generatore se $g^{hk}=g^1$ ovvero se $hk \equiv 1 (mod n)$.