Dire se alcuni insiemi sono sottoanelli e/o ideali
Salve,
scrivo in merito a questo esercizio che mi ha causato più di un dubbio.
Allora:
Sia $A$ un anello commutativo unitario ed $I$ un suo ideale. Nell'anello $A[x]$ si considerino i seguenti sottoinsiemi:
$J_1$ $={f(x) in A[x] | f(i) in I AA i in I}$
$J_2$ $={f(x) in A[x] | f(0)^2 in I}$
$J_3$ $={f(x) in A[x] | f'(0) in I}$
$J_4$ $={f(x) in A[x] | tutti i coefficienti stanno in I}$
a) Dire quali tra essi sono sottoanelli/ideali di $A[x]$
Risolvendo il primo ($J_1$) ho così argomentato $I$ è ideale di $A$ quindi $EE k in A$ $|$ $I = kA'$ con $A' sub A$
siano $f(i) in I$ e $g(i) in I$ allora deve essere che $f(i)g(i) in I$ e $f(i) - g(i) in I$, quindi se $f(i) = ka_1$ e $g(i) = ka_2$ con $a_1,a_2 in A'$
ottengo $ka_1*ka_2 = k^2 a_1a_2 in I$ e $ka_1 -ka_2 = k(a_1 - a_2) in I$ quindi $J_1$ è un sottoanello di $A[x]$
ma non dovrebbe essere un suo ideale perchè preso $f(x) in A[x]$ si ha $f(x)*f(i) notin I$
Questo però contraddice il 2° quesito dell'esercizio che afferma:
b) Se $I$ è un ideale primo è anche $J_1$ un ideale primo di $A[x]$.
Quindi $J_1$ dovrebbe essere un suo ideale (quantomeno) cosa che a me non risulta.
Dove sto sbagliando?
Grazie in anticipo
Emanuele
scrivo in merito a questo esercizio che mi ha causato più di un dubbio.
Allora:
Sia $A$ un anello commutativo unitario ed $I$ un suo ideale. Nell'anello $A[x]$ si considerino i seguenti sottoinsiemi:
$J_1$ $={f(x) in A[x] | f(i) in I AA i in I}$
$J_2$ $={f(x) in A[x] | f(0)^2 in I}$
$J_3$ $={f(x) in A[x] | f'(0) in I}$
$J_4$ $={f(x) in A[x] | tutti i coefficienti stanno in I}$
a) Dire quali tra essi sono sottoanelli/ideali di $A[x]$
Risolvendo il primo ($J_1$) ho così argomentato $I$ è ideale di $A$ quindi $EE k in A$ $|$ $I = kA'$ con $A' sub A$
siano $f(i) in I$ e $g(i) in I$ allora deve essere che $f(i)g(i) in I$ e $f(i) - g(i) in I$, quindi se $f(i) = ka_1$ e $g(i) = ka_2$ con $a_1,a_2 in A'$
ottengo $ka_1*ka_2 = k^2 a_1a_2 in I$ e $ka_1 -ka_2 = k(a_1 - a_2) in I$ quindi $J_1$ è un sottoanello di $A[x]$
ma non dovrebbe essere un suo ideale perchè preso $f(x) in A[x]$ si ha $f(x)*f(i) notin I$
Questo però contraddice il 2° quesito dell'esercizio che afferma:
b) Se $I$ è un ideale primo è anche $J_1$ un ideale primo di $A[x]$.
Quindi $J_1$ dovrebbe essere un suo ideale (quantomeno) cosa che a me non risulta.
Dove sto sbagliando?
Grazie in anticipo
Emanuele
Risposte
Secondo me sbagli perché fai la valutazione in $i$ solo del secondo polinomio.
Prendi un polinomio $a(x) in A[x]$ ed un elemento di $J_1$, cioè tale che $f(i) in I$ per ogni $i in I$ e verifica che $a(x)f(x) in J_1$, cioè $a(i)f(i) in I$. Ciò è vero?
Io direi di sì. Infatti $a(i) in A$, per ipotesi $f(i) in I$ e poichè, sempre per ipotesi $I$ è ideale di $A$, hai la tua tesi.
Controlla ciò che ho detto però
Prendi un polinomio $a(x) in A[x]$ ed un elemento di $J_1$, cioè tale che $f(i) in I$ per ogni $i in I$ e verifica che $a(x)f(x) in J_1$, cioè $a(i)f(i) in I$. Ciò è vero?
Io direi di sì. Infatti $a(i) in A$, per ipotesi $f(i) in I$ e poichè, sempre per ipotesi $I$ è ideale di $A$, hai la tua tesi.
Controlla ciò che ho detto però
"mistake89":
Secondo me sbagli perché fai la valutazione in $i$ solo del secondo polinomio.
Prendi un polinomio $a(x) in A[x]$ ed un elemento di $J_1$, cioè tale che $f(i) in I$ per ogni $i in I$ e verifica che $a(x)f(x) in J_1$, cioè $a(i)f(i) in I$. Ciò è vero?
Io direi di sì. Infatti $a(i) in A$, per ipotesi $f(i) in I$ e poichè, sempre per ipotesi $I$ è ideale di $A$, hai la tua tesi.
Controlla ciò che ho detto però
Ciao
hai ragione, devo considerare sempre il fatto che $i$ venga inserito al posto della variabile, il che mi da un intero che moltiplicato per un qualsiasi $f(i)$ appartiene sempre a $I$
Grazie.
Proverò a risolvere gli altri esempi.
Ho verificato se gli altri insiemi sono sottoanelli e/o ideali di $A[x]$, e sembrerebbe che sia vero per tutti tranne per $J_2$
Infatti per $J_2$ si ha che presi $f(x),g(x) in A[x]$ ottengo che $(f(0)*g(0))^2 notin I$, quindi $J_2$ non sembrerebbe un sottoanello ne un ideale.
In particolare per $J_3$ ho così verificato sia $f(x), g(x) in A[x]$ la derivata della composizione di funzione è $f'(x)g(x) - g'(x)f(x)$ pertanto sostituendo 0 alla x
ottengo $f'(0)g(0) in I$ e $g'(0)f(0) in I$ e quindi $f'(0)g(0) -g'(0)f(0) in I$ mentre $f'(0) - g'(0) in I$ ed è anche un ideale poichè preso $a(x) in A[x]$ ottengo
$a(0)f'(0) in I$
Per $J_4$ presi $f(x),g(x) in A[x]$ t.c. hanno i coefficienti in $I$ allora $f(x)*g(x)$ ha ancora i coefficienti in $I$ e così anche $f(x) - g(x)$
E' anche un ideale poiche preso $a(x) in A[x]$ si ha che $a(x)f(x)$ ha ancora i coefficienti in $I$.
Voi che dite?
Grazie
Infatti per $J_2$ si ha che presi $f(x),g(x) in A[x]$ ottengo che $(f(0)*g(0))^2 notin I$, quindi $J_2$ non sembrerebbe un sottoanello ne un ideale.
In particolare per $J_3$ ho così verificato sia $f(x), g(x) in A[x]$ la derivata della composizione di funzione è $f'(x)g(x) - g'(x)f(x)$ pertanto sostituendo 0 alla x
ottengo $f'(0)g(0) in I$ e $g'(0)f(0) in I$ e quindi $f'(0)g(0) -g'(0)f(0) in I$ mentre $f'(0) - g'(0) in I$ ed è anche un ideale poichè preso $a(x) in A[x]$ ottengo
$a(0)f'(0) in I$
Per $J_4$ presi $f(x),g(x) in A[x]$ t.c. hanno i coefficienti in $I$ allora $f(x)*g(x)$ ha ancora i coefficienti in $I$ e così anche $f(x) - g(x)$
E' anche un ideale poiche preso $a(x) in A[x]$ si ha che $a(x)f(x)$ ha ancora i coefficienti in $I$.
Voi che dite?
Grazie
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