Dire se alcuni insiemi sono sottoanelli dell'insieme Q

[Amartya]

Salve ragazzi sono alle prese con un esercizio di cui non conosco la soluzione. In pratica ho 3 sotto-insiemi di Q e devo dire se questi 3 sotto-insiemi sono anche sottoanelli dell'insieme/anello Q.

I tre sotto-insiemi da analizzare sono:

$A_5={a/b | (a,b) =1, 5 non divide b}$


$B_5={a/b | (a,b) =1, 5 divide b}$


$C_5={a/b | (a,b) =1, b= 5^h}$

Secondo me nessuno dei precedenti insiemi sono sotto-anelli di Q, poichè comunque presi $a/b$, esiste sempre almeno un $a_1/b_1$ | $a/b - a_1/b_1$ $notin$ ad $A_5,B_5,C_5$. Oppure $a/b * a_1/b_1$ $notin$ ad $A_5,B_5,C_5$

Esempio
sia $a = 5; b = 3$, $(a,b) =1$, e $a_1 = 7; b_1 = 9$, $(a,b) = 1$, ora si nota subito che $a/b- a_1/b_1 = 16/18$ ma $(16,18)!=1$ $=>$, $16,18 notin A_5$

Voglio dire che nei 3 precedenti insiemi esiste sempre una coppia di $a,b$ che moltiplicata e/o sommata ad un'altra coppia $a_1/b_1$ la risultante coppia di valori ha un $MCD !=1$.

Per me per essere sotto-anelli i tre insiemi devono rispettare anche il fatto che l'elemento risultante dalle oprerazioni di somma e prodotto deve appartenere all'insieme d'origine, seguendo fedelmente il concetto di sotto-anello, quindi non basta che per esempio in $A_5$, l'elemento derivante dalle operazioni di $+$ e $*$ abbia $b$ non divisibile per $5$, ma anche che $MCD(a,b)=1$.

Vorrei un vostro aiuto a riguardo.

Grazie in anticipo.

[blackbishop13]

non va bene, il fatto che ci sia scritto che una condizione è $(a,b)=1$ vuol dire solo che le frazioni devono essere ridotte ai minimi termini.

infatti $16/18=8/9$ e qunidi va bene. del resto se fosse come dici tu non avrebbe proprio senso perchè ad esempio $1/2$ è in tutti gli insiemi però $2/4$ no, eppure sono uguali, ti pare?
non ti concentrare su quello, la parte importante è quella sulla divisibilità per $5$.


riprova!

[Amartya]

Condivido la tua osservazione, ma secondo me quella definizione di insieme, si presta ad una difficile interpretazione. Considerando che è un esercizio da esame di Algebra facoltà di matematica, diciamo che non rende agevole la comprensione in sede di esame. Cmq adesso mi concentrerò sulla parte finale.

[blackbishop13]

ma in realtà non è poi così ambigua perchè dovresti vedere bene la definizione di $QQ$.
infatti $2/4$ così come $1/2$ non è propriamente un elemento di $QQ$ lo è la loro classe di equivalenza, e ogni classe ha un rappresentante del tipo $a/b$ con $(a,b)=1$
quindi non è poi così male. ma adesso concentriamoci sull' esercizio!

[Amartya]

Ritornando all'esercizio, dai miei calcoli risulta che tutti e tre sotto-insiemi di $Q$ e sono sottoanelli di $Q$.

b) L'esercizio chiede anche quali siano gli elementi invertibili di $A_5; B_5; C_5$, secondo me sono:

in $A_5$, tutti gli $a1,b1 in Q | ((a/b)*(a_1/b_1)) = 1$ quindi $b1 = a$ e $a_1 = b$, chiaramente $5 non divide b_1 => non divide a$ pertanto non sono invertibili tutti gli elementi della forma $a/b$ con $a = 5n$ esempio $5/3$ non è elemento invertibile in $A_5$ in quanto $ 3/5 notin A_5$.

In $B_5$ invece sono invertibili solo $1,-1$ in quanto essendo $(a,b) =1$ e $5 divide b$ risulta subito che ogni elemento di $B_5$ non è invertibile ad esclusione di $1,-1$. Esempio sia $a = 7, b = 10, => a,b in B_5$, l'elemento invertibile di $a/b$ è $10/7$ ma $5 non divide 7$ quindi $5/7 notin B_5$ $=> a,b$ non sono elementi invertibili.


Lo stesso discorso vale per $C_5$.

c) Sempre questo esercizio chiede quali sono l'ideali massimali rispetto a $A_5, B_5, C_5$.

Secondo me in $A_5$ gli ideali massimali sono tutti quelli della forma $p_1,p_2 => p_1/p_2 con p_1,p_2 =$ primo e $p_2 $ diverso da $5$.

In $B_5$ gli ideali massimali sono tutti quelli della forma $p/5$, con $p =$ primo

In $C_5$ gli ideali massimali sono tutti quelli della forma $p/(5^h)$, con $p =$ primo e $h =1$


Spero di non aver detto troppo sciocchezze, aspetto vostre osservazioni.

[blackbishop13]

invece purtroppo...

prima cosa: fai molta confusione tra elementi di $QQ$ del tipo $a/b$ e numeri interi come appunto $a$ e $b$ in questo caso.
infatti più volte scrivi cose come: "siano $a,b in QQ$ e poi scrivi invece $a/b$ con $(a,b)=1$"
rifletti di più su ciò che fai.

inoltre è sbagliato l'esercizio: perchè dici che sono sottoanelli? avrai fatto qualche verifica, prova ad esporle.

il punto b) va bene mi pare.

per il punto c) aspettiamo che fai bene il punto a).

[Amartya]

Allora perchè dico che secondo me $A_5,B_5,C_5$ sono sottoanelli di $Q$

$A_5$ è un sottoanello di $Q$ perchè essendo $5 non divide b$ ed essendo $5$ primo allora per il teorema fondamentale dell'aritmetica che asserisce che ogni intero $n$ o è primo o può essere definito come il prodotto di una successione di numeri primi a meno dell'ordine dei fattori, $\nexists$ $ b,b_1$ | $b*b_1 = 5$ detto in altri termini essendo $5$ primo non esistono fattori di $5$. Qundi sia $a,b,a_1,b_1 in Z | a/b, a_1/b_1 in A_5 => a/b-a_1/b_1 in A_5$ e $(a/b)*(a_1/b_1) in A_5$

Praticamente per lo stesso motivo (ma in ordine inverso) anche $B_5$ è un sottoanello di Q, infatti essendo $5 divide b$ e $b$ primo si ha che $ AA b,b_1 in Z => 5 divide (b+b_1)$ e $5 divide (b*b_1)$ quindi $a,b,a_1,b_1 in Z$ | $5 divide b => a/b,a_1/b_1 in B_5$ ma anche $a/b - a_1/b_1 in B_5$ e $(a/b)*(a_1)/(b_1) in B_5$. Esempio sia $a = 3, b = 5, (a,b) = 1$ e $5 divide b$, sia $a_1 =4 , b_1 = 15, (a_1,b_1)=1$ e $5 divide b_1$, $=>$ che $a/b - a_1/b_1 = 3/5 - 4/15 = 5/15 = 1/5 in B_5, (a/b)*(a_1/b_1)= 12/75 = 4/25 in B_5$

Identico ragionamento ho effettuato per $C_5$ che effettivamente non è un sottoanello essendo $b=5^h$, $ EE b in C_5$ $|$ $b+b_1 != 5^h$ $=>$ che $a/b - a_1/b_1 notin C_5$ mentre $b*b_1 = 5^h$

[blackbishop13]

per $A_5$ è vero.
ma poi hai fatto così tanta confusione e detto così tante cose sbagliate che non mi fido troppo.

per gli altri due è molto evidente che è non sono sottoanelli, e lo hai dimostrato con il tuo esempio (hai sbagliato un conticino):

$3/5 ,4/15\ in B_5$ ma $3/5-4/15=5/15=1/3\ notin B_5$

il che dimostra che $B_5$ non è sottoanello e quindi neanche $C_5$, ma questo l'avevi notato.
non è un errore di conto, è un caso che tu abbia messo un esempio buono, poi non te ne sei accorto perchè eri convinto di un risultato sbagliato, capita.

ma potevi accorgertene subito: $0$ non appartiene nè a $B_5$ nè a $C_5$, infatti l'unico modo per scrivere $0$ come frazione del tipo $a/b$ con $(a,b)=1$
è $0/1$ che evidentemente non appartiene a nessuno dei due.

[Amartya]

Grazie per la risposta, effettivamente ho fatto un errore di calcolo che mi ha condotto ad un errore di valutazione. Fortunatamente facendo proprio dei calcoli mi sono reso conto che anche $C_5$ non è un sotto-anello di $Q$.

Adesso posto l'ultimo aspetto dell'esercizio.

Mi si dice di considerrare gli ideali $I_1 = 10Z$, $I_2 = 15Z$, $I_3 = 16Z$, $I_4 = 20Z$, $I_5 = 25Z$ e gli omomorfismi $\varphi : Z -> A_5$ e $\psi : Z -> C_5$ definiti da $\varphi(x) = (x/1)$. Determinare gli ideali $\varphi(I_j)*A_5$ di $A_5$ e $\psi(I_j)*C_5$ di $C_5$, in particolare trovando quali coincidono con tutto l'anello e quali coincidono tra loro.

E' praticamente un giorno che rileggo la teoria degli omomorfismi, ma non riesco neanche ad impostare un'idea su come risolvere questo esercizio.

Innanzi tutto non capisco come una applicazione così definita ( $\varphi(x) = (x/1)$ ) possa avere come immagine $A_5$

Hai idee a riguardo

Grazie in anticipo.

[Amartya]

Eccoci qua dopo due giorni di studio, non sono riuscito ancora a capire l'ultimo esercizio. Ho esplorato l'intero web ma ho solo visto solo tanta teoria e nessun esempio pratico

Tuttavia ho capito (o almeno credo) che il nucleo di un omomorfismo è un'ideale.

Tento una risposta l'omomorfismo $\varphi(x)$ in $10Z$ da come $Imf$ interi (credo!!!) del tipo $10z$ con $z in Z$, ma non riesco ad individuare l'ideale risultante tra $\varphi(10z)$ e $A_5$, dovrebbe essere l'$mcm$.

Potreste confermarmi che gli omomofismi individuati non sono biettivi, ma solo iniettivi?


Grazie a tutti.


PS
rivedendo le risposte al quesito iniziale, sembrerebbe che anche $C_5$ è un sottoanello di $Q$. Poichè gli elementi $b = 5^h$ fanno si che se $h_1

Cita

Segnala

[TotalTrash]

@blackbishop $5^0=1$

@emanuele: nota che se in un'ideale ci metti un elemento invertibile, allora l'ideale è l'anello stesso.
Se $B_5$ non è un anello non ha senso parlare di ideali.
in $C_5$ sono sicuramente più grandi di quelli da te indicati quelli generati da $p/1$, con p è diverso da 5. A proposito, le potenze di 5 sono invertibili in $C_5$

[Amartya]

Innanzi tutto voglio ringraziare tutti per le risposte date.

Di $C_5$ avevo intuito che fosse un sottoanello visto che il prodotto di due potenze è ancora una potenza.

Ritornando all'ideale in $C_5$ quanto da te detto significa se non ho capito male che l'ideale massimale è quello che ha esponente $h=0$ numeratore $p$ primo?

Effettivamente è proprio quello più grande di tutti. Aver individuato quelli massimali in $A_5$ mi fa piacere perchè significa che sto cominciando a capire l'argomento tanto difficile quanto affascinante.


Mi rimane da capire l'ultimo esercizio di cui ancora oggi non ho ben capito lo schema d'attacco. Forse perchè non ho ben capito cosa vuole l'esercizio.

Per esempio dire di individuare l'ideali $\varphi(I_j)*A_5$ equivale a dire di trovare gli ideali $\varphi(I_j) nn A_5$, ed ancora l'omomorfismo $\varphi(x) = x/1$ sembra che dia per $I = 2Z$ solo elementi interi ma questi sono solo un sottoanello di $A_5$. Forse?

Ho le idee un pò confuse.

In ogni caso grazie ancora.

[TotalTrash]

"TotalTrash":

@emanuele: nota che se in un'ideale ci metti un elemento invertibile, allora l'ideale è l'anello stesso.

qui volevo farti notare che secondo te gli ideali massimali di [tex]A_5[/tex] contengono degli elementi che sono invertibili, ma questo non può essere,perchè se c'è [tex]a[/tex] invertibile, c'è anche [tex]1=a\cdot a^{-1}[/tex] e quindi c'è tutto l'anello