Diofantea

[bestiedda]

trovare tutte le coppie di numeri interi positivi x,y tali che
$x^2 + 615 = 2^y$

allora io l'ho risolto così:

poichè $2^y$ è pari, allora anche $x^2 + 615$ dovrà essere pari. Di conseguenza $x$ è dispari. Se $x$ fosse multiplo di 3 allora avremmo che $2^y$ dovrebbe essere multiplo di 3, il che è assurdo. Allora $x^2 \equiv 1 (mod 3)$, e quindi $2^y \equiv 1 (mod 3)$, il che è vero per $y$ pari. Poniamo $y=2a$ con $aEENN$ e riscriviamo l'equazione nella forma $2^(2a) -x^2 = 615$. Scomponiamo il primo membro ottenendo $(2^a + x)(2^a - x)=615$. Allora $2^a + x$ e $2^a - x$ sono divisori di 615. Li mettiamo a sistema $\{(2^a + x = A),(2^a - x = B):}$ con $A*B=615$ e $A>B$ perchè $2^a + x>2^a - x$. Poichè $615=3*5*41$ avremo 4 possibilità per A e B: $(A=615,B=1) (A=205,B=3) (A=123,B=5) (A=41,B=15)$. Facendo sottrazione otteniamo $2x=A-B$; per la prima, la seconda e la quarta coppia di valori di A e B il sistema non ha soluzioni perchè $x + B=2^a$ e con i valori di x ottenuti questa identità non è mai verificata. Per $A=123,B=5$ otteniamo $x=59$ e, sostituendo nella seconda equazione del sistema abbiamo $64=2^a$ il che è vero per $a=6$. L'unica coppia di soluzioni è perciò $x=59,y=12$

consigli? anche sulla stesura della dimostrazione

[_luca.barletta]

"bestiedda": Allora $x^2 \equiv 1 (mod 3)$

sse $gcd(x,3)=1$.

[bestiedda]

"luca.barletta":[quote="bestiedda"] Allora $x^2 \equiv 1 (mod 3)$

sse $gcd(x,3)=1$.[/quote]
grazie, ora correggo

[Pido17]

Scusate l'ignoranza: sono nuovo e neppure ancora abbastanza erudito in matematica
Cercavo di capire la dimostrazione ma non ho mai visto la scrittura

x^2≡1(mod3)

Potreste spiegarmela o dirmi in che sezione rivolgermi?
Grazie!!

[Steven11]

Ti conviene dare un'occhiata qua, giusto per iniziare
http://it.wikipedia.org/wiki/Aritmetica_modulare

Ciao.

[Pido17]

Grazie mille! Leggo subito.
A presto