Dimostrazioni sui gruppi

[Howard_Wolowitz]

Innanzitutto buona serata a tutti!
Ho il seguente esercizio da risolvere sui gruppi:

i)Per questa prima parte non capisco se devo dare la dimostrazione del teorema che dice che prese [tex]f \wedge g[/tex] biiettive la composizione [tex]g \circ f[/tex] è anch'essa una funzione biiettiva o altro...
ii)[tex]({S}_{X},\circ)[/tex](con [tex]\circ[/tex] prodotto operatorio o composizione tra funzioni) è un gruppo perchè:
- supposto di avere [tex]\forall h,g,f \in {S}_{X}[/tex](con [tex]h,g,f[/tex] funzioni) ho che, per la proprietà associativa della composizione di funzioni [tex]h \circ (g \circ f)=(h \circ g) \circ f[/tex];
- esiste tra le permutazioni dell'insieme [tex]{S}_{X}[/tex] una funzione [tex]{i}_{X}[/tex], definita quale funzione identica, tale per cui, [tex]\forall f \in {S}_{X}[/tex] sia ha che [tex]f \circ {i}_{X}=f={i}_{X} \circ f[/tex];
- essendo [tex]{S}_{X}[/tex] l'insieme delle biiezioni da [tex]X[/tex] ad [tex]X[/tex], ottengo che ugnuna di questo risulta essere invertibile e quindi [tex]\forall f \in {S}_{X} \exists {f}^{-1}[/tex] tale per cui [tex]f \circ {f}^{-1}={i}_{X}={f}^{-1} \circ f[/tex].
iii)[tex]({S}_{X},\circ)[/tex] non è sicuramente abeliano perchè la composizione di funzioni, in questo caso permutazioni, per insiemi dominio e codominio con cardinalità [tex]\geq 3[/tex] non è in generale commutativa, ovvero [tex]f \circ g \neq g \circ f[/tex], ad esempio se definisco:

[tex]f:X \rightarrow X[/tex]
[tex]1\rightarrow 2[/tex]
[tex]2\rightarrow 3[/tex]
[tex]3\rightarrow 4[/tex]
[tex]4\rightarrow 1[/tex]
e
[tex]g:X\rightarrow X[/tex]
[tex]1\rightarrow 3[/tex]
[tex]2\rightarrow 4[/tex]
[tex]3\rightarrow 2[/tex]
[tex]4\rightarrow 1[/tex]

ottengo

[tex]g \circ f:X\rightarrow X[/tex]
[tex]1\rightarrow 4[/tex]
[tex]2\rightarrow 2[/tex]
[tex]3\rightarrow 1[/tex]
[tex]4\rightarrow 3[/tex]
e
[tex]f \circ g:X\rightarrow X[/tex]
[tex]1\rightarrow 4[/tex]
[tex]2\rightarrow 1[/tex]
[tex]3\rightarrow 3[/tex]
[tex]4\rightarrow 2[/tex]

Ora vi chiedo, se possibile, di darmi qualche indicazione sulla correttezza o meno della risoluzione di tali esercizi e della possibile risoluzione della prima parte sulla quale rimango un po' dubbioso su come procedere e, soprattutto, se il procedimento da me indicato potrebbe rivelarsi corretto.
Grazie mille e buona serata ancora!

[vict85]

Penso vada bene. Anche se penso che il problema non desse per scontato la conoscenza delle permutazioni, anzi.

[Howard_Wolowitz]

Ti ringrazio.
In effetti l'unica definizione di permutazione data dal docente in classe è stata quella di funzione [tex]f:X\rightarrow X[/tex] tale che [tex]f[/tex] sia una biiezione.
Comunque per il primo punto dovrebbe bastare sempre e comunque la dimostrazione da me citata in precedenza, giusto?
Grazie mille ancora!!