Dimostrazioni sugli insiemi
Ho qualche dubbio su queste dimostrazioni:
$1)$Se $A$ è un sottoinsieme di $B$ e $B$ un sottoinsieme di $C$ dimostrare che $A$ è un sottoinsieme di$ C$
La dimostrazione mi sembra immediata:
l'inclusione gode della proprietà transitiva, per cui $ AsubeBsubeCrArrAsubeC$
oppure
$AsubeBsubeC=Asube(BsubeC)=Asube(BuuC)=AsubeC$
$2)$
Se $BsubA$, dimostrare che $AuuB=A$ e viceversa.
La dimostrazione mi sembra immediata:
$BsubA=BuuA=A$
oppure
$BsubA hArr x inB->x inA hArr x in B vvx in A hArr x in AuuB hArr x in A$
viceversa:
$BuuA=AhArrBsubA$
$1)$Se $A$ è un sottoinsieme di $B$ e $B$ un sottoinsieme di $C$ dimostrare che $A$ è un sottoinsieme di$ C$
La dimostrazione mi sembra immediata:
l'inclusione gode della proprietà transitiva, per cui $ AsubeBsubeCrArrAsubeC$
oppure
$AsubeBsubeC=Asube(BsubeC)=Asube(BuuC)=AsubeC$
$2)$
Se $BsubA$, dimostrare che $AuuB=A$ e viceversa.
La dimostrazione mi sembra immediata:
$BsubA=BuuA=A$
oppure
$BsubA hArr x inB->x inA hArr x in B vvx in A hArr x in AuuB hArr x in A$
viceversa:
$BuuA=AhArrBsubA$
Risposte
Qual è il tuo problema? Ti sembra tutto immediato... Cosa non capisci?
Il mio problema è: le dimostrazioni fatte da me vanno bene o si può fare meglio e diversamente!
mi spiace, ma ho qualche brutta notizia..."marcus112":
l'inclusione gode della proprietà transitiva
È esattamente quello che ti si sta chiedendo di dimostrare!
"marcus112":
$AsubeBsubeC=Asube(BsubeC)=Asube(BuuC)=AsubeC$
[...]
$BsubA=BuuA=A$
Sono scritture prive di senso. $AsubeBsubeC=Asube(BsubeC)$
"marcus112":
$x inB->x inA hArr x in B vvx in A$
Perché mai?
"marcus112":
viceversa:
$BuuA=AhArrBsubA$
Anche ciò andrebbe dimostrato.
Così come le hai scritte, le dimostrazioni sono tutte sbagliate. Un suggerimento: usa le definizioni delle operazioni tra insiemi.
Non per fare il pignolo ma la scrittura \(\displaystyle A\subseteq (B\subseteq C) \) non ha alcun senso. Questo perché \(\displaystyle \subseteq \) non è una operazione. Bisogna fare attenzione a queste cose.
Ciò che devi dimostrare è che \(\displaystyle A\subseteq B \wedge B\subseteq C \) implica \(\displaystyle A\subseteq C \). La scrittura \(\displaystyle A\subseteq B\subseteq C \) serve ad indicare questo situazione ma è, dal punto di vista formale, una forzatura. I matematici non sono troppo fiscali rispetto a questo tipo di forzature. Ma se il tuo scopo è dimostrarla allora non puoi usarla e soprattutto non puoi usare le scritture \(\displaystyle A\subseteq (B\subseteq C) \) e \(\displaystyle (A\subseteq B)\subseteq C \) che non hanno alcun senso matematico (e la cui interpretazione è per me piuttosto difficile).
Ciò che devi dimostrare è che \(\displaystyle A\subseteq B \wedge B\subseteq C \) implica \(\displaystyle A\subseteq C \). La scrittura \(\displaystyle A\subseteq B\subseteq C \) serve ad indicare questo situazione ma è, dal punto di vista formale, una forzatura. I matematici non sono troppo fiscali rispetto a questo tipo di forzature. Ma se il tuo scopo è dimostrarla allora non puoi usarla e soprattutto non puoi usare le scritture \(\displaystyle A\subseteq (B\subseteq C) \) e \(\displaystyle (A\subseteq B)\subseteq C \) che non hanno alcun senso matematico (e la cui interpretazione è per me piuttosto difficile).
$ 1) $Se $ A $ è un sottoinsieme di $ B $ e $ B $ un sottoinsieme di $ C $ dimostrare che $ A $ è un sottoinsieme di$ C $
Proviamo di nuovo....applicando la definizione di sottoinsieme:
$ AsubeB hArr x inArArrx inB$. Essendo poi $BsubeC rArr x inA hArr x in C rArrAsubeC$
Aspetto suggerimenti da voi esperti
Proviamo di nuovo....applicando la definizione di sottoinsieme:
$ AsubeB hArr x inArArrx inB$. Essendo poi $BsubeC rArr x inA hArr x in C rArrAsubeC$
Aspetto suggerimenti da voi esperti
"marcus112":
$ 1) $Se $ A $ è un sottoinsieme di $ B $ e $ B $ un sottoinsieme di $ C $ dimostrare che $ A $ è un sottoinsieme di$ C $
Proviamo di nuovo....applicando la definizione di sottoinsieme:
$ AsubeB hArr x inArArrx inB$. Essendo poi $BsubeC rArr x inA hArr x in C rArrAsubeC$
Aspetto suggerimenti da voi esperti
Non esattamente. In particolare c'è un se e solo se sbagliato, ma forse è un typo. Basta usare due volte l'implicazione.
$ 1) $Se $ A $ è un sottoinsieme di $ B $ e $ B $ un sottoinsieme di $ C $ dimostrare che $ A $ è un sottoinsieme di$ C $
Forse andrebbe meglio così....
$ AsubeB ->x inArArrx inB $. Essendo poi $ BsubeC -> x inA hArr x in C rArrAsubeC $
Forse andrebbe meglio così....
$ AsubeB ->x inArArrx inB $. Essendo poi $ BsubeC -> x inA hArr x in C rArrAsubeC $
Al di là delle sottigliezze, c'è un problema serio con \( x \in A \iff x \in C\).
"Epimenide93":
Al di là delle sottigliezze, c'è un problema serio con \( x \in A \iff x \in C\).
Infatti era quello il se e solo se che non andava bene.
Sinceramente ti suggerisco di scrivere le cose a parole. Insomma sia \(\displaystyle x\in A \). Siccome \(\displaystyle A\subseteq B \) allora \(\displaystyle x\in B \). Similmente essendo \(\displaystyle B\subseteq C \) si ha che \(\displaystyle x\in C \). Pertanto \(\displaystyle x\in A \Rightarrow x\in C \), ossia \(\displaystyle A\subseteq C \).
Nulla di più semplice. Insomma se vuoi vederla in modo formalissimo hai usato due volte il modus ponens.
Il secondo esercizio è del tutto analogo.
Grazie per l'aiuto...ho provato di nuovo a rappresentare la dimostrazione: 
$x in A ^^AsubeBrArr x in B vvx in B ^^BsubeCrArr x in C$
Pertanto
$AAx in A, x in BuuC=C rArrAsubeC$
Può passare?
P.s.: non ho capito il discorso sul modus ponens:
$((a->b)^^a)->b$
$x in A ^^AsubeBrArr x in B vvx in B ^^BsubeCrArr x in C$
Pertanto
$AAx in A, x in BuuC=C rArrAsubeC$
Può passare?
P.s.: non ho capito il discorso sul modus ponens:
$((a->b)^^a)->b$
Io invece non ho capito il tuo \(\displaystyle x\in B \vee x\in B... \).
Le tue ipotesi sono \(\displaystyle x\in A\to x\in B \) e \(\displaystyle x\in B\to x\in C \).
\(\displaystyle (x\in A)\wedge(x\in A\to x\in B)\wedge(x\in B\to x\in C) \Rightarrow (x\in B)\wedge(x\in B\to x\in C) \Rightarrow (x\in C) \)
Le tue ipotesi sono \(\displaystyle x\in A\to x\in B \) e \(\displaystyle x\in B\to x\in C \).
\(\displaystyle (x\in A)\wedge(x\in A\to x\in B)\wedge(x\in B\to x\in C) \Rightarrow (x\in B)\wedge(x\in B\to x\in C) \Rightarrow (x\in C) \)
Mi sono sbagliato...intendevo un'intersezione:
$ (x in A ^^AsubeBrArr x in B) ^^(x in B ^^BsubeCrArr x in C)rArr AAx in A, x in BnnC=CrArrAsubeC $
P.s.: non ho capito il discorso sul modus ponens:
$ ((a->b)^^a)->b $[/quote]
$ (x in A ^^AsubeBrArr x in B) ^^(x in B ^^BsubeCrArr x in C)rArr AAx in A, x in BnnC=CrArrAsubeC $
P.s.: non ho capito il discorso sul modus ponens:
$ ((a->b)^^a)->b $[/quote]
Provo a dimostrare che se $Bsub ArArrAuuB=A$
$Bsub A hArrx in BrArr x in A.$ In ogni caso $x in B rArr x in AuuB$ ed essendo poi $ AAx in B, x in A rArr AuuB=A$
Aspetto vostri consigli....grazie sempre
$Bsub A hArrx in BrArr x in A.$ In ogni caso $x in B rArr x in AuuB$ ed essendo poi $ AAx in B, x in A rArr AuuB=A$
Aspetto vostri consigli....grazie sempre
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