Dimostrazioni proprietà insiemi

[occhimare]

Salve ragazzi,
sono alle prese con l'esame di logica matematica e ho alcuni dubbi sulle dimostrazioni di insiemi.
Ecco alcuni esempi:

1. (B-A) U (C-A)= (B U C) - A
2. A U (B-A) = A U B
3. A $nn$ B $nn$ ( A U B) = A $nn$ B

Qualcuno che mi da una mano?!
Grazie in anticipo!

[axpgn]

Idee tue?

[occhimare]

Iniziare mostrando la doppia inclusione e poi procedere con la dimostrazione attraverso le varie proprietà.. Ma il problema è che non riesco a mettere in pratica quello che ho appena scritto..

[axpgn]

Beh, prova ... cosa significa per te "mostrare la doppia inclusione" ? cosa vorresti scrivere?

[occhimare]

Che il primo è sottoinsieme del secondo e viceversa.. Fin qui ci sono, vorrei capire come sviluppare l'uguaglianza però..

[axpgn]

Non ho afferrato bene il concetto ... comunque adesso l'unica cosa che mi viene è un ragionamento logico ... per esempio per il primo abbiamo che l'insieme $B-A$ è composto da tutti gli elementi di $B$ che non appartengono ad $A$ e analogamente l'insieme $C-A$ è composto da tutti gli elementi di $C$ che non appartengono ad $A$ quindi l'unione di questi due insiemi è composta da tutti gli elementi appartenenti a $B$ o a $C$ ma non ad $A$; questa però è esattamente la definizione del membro di destra.
Lo stesso si può fare con gli altri due punti.

Cordialmente, Alex

[marco9551]

1)Dimostrare la verità dell'uguaglianza $ AA A,B,C , (B-A)uu(C-A)= (B uu C) - A $ è equivalente a dimostrare il seguete teorema:
$ AA A,B,C(AAx, x in (B-A)uu(C-A) <=>x in(BuuC)-A) $ o ancora in modo equivalente
$ AA A,B,C(AAx, x in(BuuC)-A <=>x in(B-A)uu(C-A)) $

Siano A,B e C tre insiemi generici e x un generico elemento.

$ Hp:x in(BuuC)-A $
$ Th:x in(B-A)uu(C-A) $

Dimostrazione
$ x in(BuuC)-A<=>(x in(BuuC))^^ (xnotinA)<=>((x inB)vv(x inC))^^ (xnotinA)<=>((x inB)^^(xnotinA))vv((x inC)^^(xnotinA))<=>(x in (B-A))vv(x in (C-A))<=>x in (B-A)uu(C-A) $

Gli altri si dimostrano in maniera analoga.

[garnak.olegovitc1]

@King8,
impara sin da ora ad usare correttamente la codifica.. le proprietà da dimostrare sono queste penso (confermi?):

1. \((B-A) \cup (C-A)= (B \cup C) - A\)
2. \(A \cup (B-A) = A \cup B\)
3. \(A \cap B \cap ( A \cup B) = A \cap B\)

senza passare dalla logica (alle volte è più divertente):

3.:
(penso che mancano delle parentesi a mò di rigore), considera \(A \cup B\), certamente \(B \subseteq (A \cup B)\) ergo \(B \cap (A \cup B)= B\), a te la banale conlusione..

2.:
ci sto ancora pensando (aggionerò il messaggio), da un punto di vista logica è banale...

1.:
puoi sfruttare il fatto che dati due insiemi \(X,Y\) allora \((X-Y)= (X \cap \bar{Y})\) ed applicare in maniera massiccia De-Morgan (questo lo trovo divertente)...