Dimostrazioni insiemi
1) Dimostrare che se $A$ e $B$ sono due insiemi rispettivamente di cardinalità finita $m$ e $n$, l'insieme $AxB$ ha cardinalità $mn$.
2) Siano $A$,$B$ sottoinsiemi di un insieme $S$ tali che almeno uno tra $A$ e $B$ sia non vuoto. Si dimostri che la differenza simmetrica $A-B=0$ (insieme vuoto), allora $A=B$
3) Siano $A$, $B$, $C$, $D$ sottoinsiemi non vuoti di un insieme $S$ tali che $(BxA)$ è sottoinsieme di $(CxD)$. Si dica se $B$ sottoinsieme di $C$ e $A$ sottoinsieme di $D$ risulta verificata per qualsiasi scelta di $A$, $B$, $C$, $D$.
2) Siano $A$,$B$ sottoinsiemi di un insieme $S$ tali che almeno uno tra $A$ e $B$ sia non vuoto. Si dimostri che la differenza simmetrica $A-B=0$ (insieme vuoto), allora $A=B$
3) Siano $A$, $B$, $C$, $D$ sottoinsiemi non vuoti di un insieme $S$ tali che $(BxA)$ è sottoinsieme di $(CxD)$. Si dica se $B$ sottoinsieme di $C$ e $A$ sottoinsieme di $D$ risulta verificata per qualsiasi scelta di $A$, $B$, $C$, $D$.
Risposte
Non capisco se sono quesiti posti alla comunità oppure quesiti che non riesci a risolvere...vorrei sapere prima lo scopo di questi quesiti...
sono quesiti che non riesco a risolvere 
"elios":
sono quesiti che non riesco a risolvere
Benissimo...non riesci proprio ad impostare una risoluzione, non hai capito l'argomento, hai scritto qualcosa per risolvere questi problemi?
Lo scopo di questo forum è di aiutare chi si impegna non essere un jukebox di soluzioni. Non è per sfiducia ma per chiarezza che scrivo questo
Saluti, Ermanno.
Sì sì hai ragione... Io evitavo di dire i miei pensieri per non annoiare Comunque, l'argomento è chiaro, e, per esempio per quanto riguarda il primo esercizio, è una caratteristica che ho sempre utilizzato $|AxB|=|A|x|B|$ ma non riesco a dimostrarla. Ho pensato di fare degli esempi con insiemi da pochi elementi, ma difficilmente riesco a tirare fuori una dimostrazione universale.
Per quanto riguarda il secondo esercizio, intuitivamente ho capito, è solo che non so se è rigorosamente esatto: facendo la differenza simmetrica sto cercando l'insieme degli elementi che appartengano all'unione di A e B ma non appartengano all'intersezione di A e B, all'interno dell'insieme universo S. Ora, dato che questo insieme (cioé il risultato della differenza simmetrica) è vuoto, ne consegue che non esistono elementi appartenenti a A e non appartenenti a B ed elementi appartenenti a B e non appartenenti a A. Quindi (sempre intuitivamente) A e B coincidono.
Il terzo problema non mi è chiaro..
Comunque, l'argomento è chiaro, e, per esempio per quanto riguarda il primo esercizio, è una caratteristica che ho sempre utilizzato $|AxB|=|A|x|B|$ ma non riesco a dimostrarla. Ho pensato di fare degli esempi con insiemi da pochi elementi, ma difficilmente riesco a tirare fuori una dimostrazione universale.Per quanto riguarda il secondo esercizio, intuitivamente ho capito, è solo che non so se è rigorosamente esatto: facendo la differenza simmetrica sto cercando l'insieme degli elementi che appartengano all'unione di A e B ma non appartengano all'intersezione di A e B, all'interno dell'insieme universo S. Ora, dato che questo insieme (cioé il risultato della differenza simmetrica) è vuoto, ne consegue che non esistono elementi appartenenti a A e non appartenenti a B ed elementi appartenenti a B e non appartenenti a A. Quindi (sempre intuitivamente) A e B coincidono.
Il terzo problema non mi è chiaro..
1) così a occhio ti direi: per questo tipo di problemi usa l'induzione..doppia sui due parametri
Olà!
1) Ti dò un suggerimento: per ogni elemento a di A, l'insieme $C_a=\{(a,b)\ |\ b \in B\}$ è equipotente a B... e l'unione dei $C_a$ è disgiunta ed è uguale a $A \times B$ ...
2) Ti dò un suggerimento: la differenza simmetrica è $(A-B) \cup (B-A)$ dove $-$ denota la differenza insiemistica. Dire che $(A-B) \cup (B-A)=emptyset$ è equivalente a dire che $A-B=emptyset$ e $B-A=emptyset$. .. ...
3) Ti dò un suggerimento: se uno tra A, B, C, D è vuoto la cosa non è vera in generale. Se invece A, B, C, D sono tutti non vuoti, dire che $B \times A \subseteq C \times D$ significa che $(b,a) \in C \times D$ per ogni $b \in B$, $a \in A$, quindi...
1) Ti dò un suggerimento: per ogni elemento a di A, l'insieme $C_a=\{(a,b)\ |\ b \in B\}$ è equipotente a B... e l'unione dei $C_a$ è disgiunta ed è uguale a $A \times B$ ...
2) Ti dò un suggerimento: la differenza simmetrica è $(A-B) \cup (B-A)$ dove $-$ denota la differenza insiemistica. Dire che $(A-B) \cup (B-A)=emptyset$ è equivalente a dire che $A-B=emptyset$ e $B-A=emptyset$. .. ...
3) Ti dò un suggerimento: se uno tra A, B, C, D è vuoto la cosa non è vera in generale. Se invece A, B, C, D sono tutti non vuoti, dire che $B \times A \subseteq C \times D$ significa che $(b,a) \in C \times D$ per ogni $b \in B$, $a \in A$, quindi...
Ok, il 2) e il 3) credo di averli risolti... Rimane un grosso punto interrogativo sull'1)... Cosa intendi con $C_a$? il complementare di $A$? Grazie!
No, è solo una notazione. Potevo chiamarlo anche $\sigma NN RR \partial _a$ 
(l'importante è che si veda la dipendenza da $a$).
(l'importante è che si veda la dipendenza da $a$).
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