Dimostrazioni funzioni
come si svolge questo esercizio
Sia $f : S to T $ una applicazione; si dimostri che $ f(X1 nn X2) sube f(X1) nn f(X2) $ ma in generale non
vale l'uguaglianza
Sia $f : S to T $ una applicazione; si dimostri che $ f(X1 nn X2) sube f(X1) nn f(X2) $ ma in generale non
vale l'uguaglianza
Risposte
@TT,
suppongo \( X_1,X_2 \subseteq S \)?!
E comunque devi fare vedere che $$\forall x \in f((X_1 \cap X_2))(x \in (f(X_1) \cap f(X_2)))$$ poi dimostri che $$f((X_1 \cap X_2))\neq (f(X_1) \cap f(X_2))$$ Dai che è semplice, un tuo tentativo di inizio!
Saluti
P.S.= Se prendi un qualsiasi \( x \in f((X_1 \cap X_2))\) allora \( \exists y \in (X_1 \cap X_2)\) tale che \( f(y)=x \), se \( y \in (X_1 \cap X_2) \) allora ... continua tu..!!
"TT":
come si svolge questo esercizio
Sia $f : S to T $ una applicazione; si dimostri che $ f(X1 nn X2) sube f(X1) nn f(X2) $ ma in generale non
vale l'uguaglianza
suppongo \( X_1,X_2 \subseteq S \)?!
E comunque devi fare vedere che $$\forall x \in f((X_1 \cap X_2))(x \in (f(X_1) \cap f(X_2)))$$ poi dimostri che $$f((X_1 \cap X_2))\neq (f(X_1) \cap f(X_2))$$ Dai che è semplice, un tuo tentativo di inizio!Saluti
P.S.= Se prendi un qualsiasi \( x \in f((X_1 \cap X_2))\) allora \( \exists y \in (X_1 \cap X_2)\) tale che \( f(y)=x \), se \( y \in (X_1 \cap X_2) \) allora ... continua tu..!!
$ .... EEx in(X1 nn X2)$ tale che $f(x) = y$
è cosi ?
è cosi ?
@TT,
mmm ti trovi male se usiamo \( y \in (X_1 \cap X_2) \)? Vuoi usare \( x \in (X_1 \cap X_2)\)? Vada così allora (però avremo \(f((X_1 \cap X_2))\ni y\)).. se \( \exists x \in (X_1 \cap X_2)(f(x)=y )\) significa che \( \exists x(x \in (X_1 \cap X_2) \wedge f(x)=y) \), prendiamo questo \( x \) di cui abbiamo appena dedotto l'esistenza, sappiamo che \( x \in (X_1 \cap X_2) \wedge f(x)=y \), se \( x \in (X_1 \cap X_2)\) allora \( x \in X_1 \wedge x \in X_2 \), allora \( f(x) \in f(X_1) \wedge f(x) \in f(X_2 )\), ovvero \(f((X_1 \cap X_2))\ni y=f(x) \in (f(X_1) \cap f(X_2))\), ergo l'inclusione è verificata.. a te la disuguaglianza (o il fatto che l'altra inclusione è falsa, oppure puoi dimostrare che l'uguaglianza è vera se e solo \( f \) è iniettiva, o porti un controesempio.. insomma vedi un po come ti pare meglio )!
Saluti
"TT":
$ .... EEx in(X1 nn X2)$ tale che $f(x) = y$
è cosi ?
mmm ti trovi male se usiamo \( y \in (X_1 \cap X_2) \)? Vuoi usare \( x \in (X_1 \cap X_2)\)? Vada così allora (però avremo \(f((X_1 \cap X_2))\ni y\)).. se \( \exists x \in (X_1 \cap X_2)(f(x)=y )\) significa che \( \exists x(x \in (X_1 \cap X_2) \wedge f(x)=y) \), prendiamo questo \( x \) di cui abbiamo appena dedotto l'esistenza, sappiamo che \( x \in (X_1 \cap X_2) \wedge f(x)=y \), se \( x \in (X_1 \cap X_2)\) allora \( x \in X_1 \wedge x \in X_2 \), allora \( f(x) \in f(X_1) \wedge f(x) \in f(X_2 )\), ovvero \(f((X_1 \cap X_2))\ni y=f(x) \in (f(X_1) \cap f(X_2))\), ergo l'inclusione è verificata.. a te la disuguaglianza (o il fatto che l'altra inclusione è falsa, oppure puoi dimostrare che l'uguaglianza è vera se e solo \( f \) è iniettiva, o porti un controesempio.. insomma vedi un po come ti pare meglio
)!Saluti
dovrebbe essere cosi
$ EEy in (X1 nn X2) $ tale che $ f(y) = x$
$ EEy in (X1 nn X2) $ tale che $ f(y) = x$
@TT,
non capisco che intendi?
(Puoi usare qualsiasi simbolo per indicare una variabile, di solito si preferisce uno tra \( w,x,y,z\), o uno di questi con indici..) Se non capisci qualcosa dimmi cosa! (Se alcuni simboli logici ti sfuggono, dimmi quali).. 
Meglio una frase discorsiva vera e propria che uno stile "telegrammatico"
Saluti
"TT":
dovrebbe essere cosi
$ EEy in (X1 nn X2) $ tale che $ f(y) = x$
non capisco che intendi?
(Puoi usare qualsiasi simbolo per indicare una variabile, di solito si preferisce uno tra \( w,x,y,z\), o uno di questi con indici..) Se non capisci qualcosa dimmi cosa! (Se alcuni simboli logici ti sfuggono, dimmi quali).. Meglio una frase discorsiva vera e propria che uno stile "telegrammatico" Saluti
il fatto è che non sto capendo 
@TT,
ripartiamo da zero, tu devi dimostrare, usiamo la variabile \( y \) e qualche tonda in meno, che $$f(X_1 \cap X_2)\subseteq f(X_1) \cap f(X_2)$$ ovvero $$\forall y \in f(X_1 \cap X_2)(y \in f(X_1) \cap f(X_2))$$ cioè l'implicazione $$\forall y (y \in f(X_1 \cap X_2) \Rightarrow y \in f(X_1) \cap f(X_2))$$ spero che fin qui ti è chiaro! Prendi un \( y \) tale che \( y \in f(X_1 \cap X_2) \) dalla definizione di $$f(X_1 \cap X_2)=\{z|\exists x \in X_1 \cap X_2(f(x)=z)\}$$ puoi dire che
sin qui ti è chiaro? E' solo applicare qualche definizione e regoletta di logica...
Saluti
"TT":
il fatto è che non sto capendo
ripartiamo da zero, tu devi dimostrare, usiamo la variabile \( y \) e qualche tonda in meno, che $$f(X_1 \cap X_2)\subseteq f(X_1) \cap f(X_2)$$ ovvero $$\forall y \in f(X_1 \cap X_2)(y \in f(X_1) \cap f(X_2))$$ cioè l'implicazione $$\forall y (y \in f(X_1 \cap X_2) \Rightarrow y \in f(X_1) \cap f(X_2))$$ spero che fin qui ti è chiaro! Prendi un \( y \) tale che \( y \in f(X_1 \cap X_2) \) dalla definizione di $$f(X_1 \cap X_2)=\{z|\exists x \in X_1 \cap X_2(f(x)=z)\}$$ puoi dire che
se \( y \in f(X_1 \cap X_2) \) allora \( y=z \wedge \exists x \in X_1 \cap X_2(f(x)=z)\)
sin qui ti è chiaro? E' solo applicare qualche definizione e regoletta di logica...
Saluti
Senza dubbio se \(\displaystyle X\subseteq Y \) allora \(\displaystyle f(X) = \{ f(x) \mid x\in X \}\subseteq \{ f(y) \mid y\in Y \} = f(Y) \). Usando questo fatto due volte si deduce la prima parte, cioè che \(\displaystyle f(X\cap Y)\subseteq f(X)\cap f(Y) \).
Riguardo alla seconda ti basta osservare che \(\displaystyle f(X)\cap f(Y) \) coincide con l'insieme \(\displaystyle \{ z\in Im f\mid \exists x\in X,\ \exists y\in Y\ z = f(x) = f(y) \} \). Da qui prova a proseguire tu.
Riguardo alla seconda ti basta osservare che \(\displaystyle f(X)\cap f(Y) \) coincide con l'insieme \(\displaystyle \{ z\in Im f\mid \exists x\in X,\ \exists y\in Y\ z = f(x) = f(y) \} \). Da qui prova a proseguire tu.
Allora ho una funzione
$f: S rightarrow T$
$X $ è un sottoinsieme di $S$ quindi è un sottoinsieme del dominio.
Allora alcuni o tutti gli elementi di $X$ hanno delle immagini in $T$. L'insieme delle immagini di $X$ viene denotato con $f(X)$.
$f(X)$ è anche un sottoinsieme dell'insieme T.
Nell'esercizio io ho una funzione
$f: S rightarrow T$
$f(X1 nn X2)$ questa è l'immagine dell'insieme $X1 nn X2$
$ f(X1) nn f(X2) $ è l'immagine dell'insieme $X1 $e $X2 $ distinti che poi si intersecano
Quindi $f(X1 nn X2) $ può essere un insieme più piccolo o massimo uguale all'insieme $ f(X1) nn f(X2)$
Devo dimostrare che $f(X1 nn X2) sube f(X1) nn f(X2)$
se $ x in f(X1 nn X2) $ allora $x in f(X1) ^^ f(X2) $ tale che $ f(X1) ^^ f(X2) = y $
Non vale l'uguaglianza e quindi
$EEy in f(X1) nn f(X2) $ tale che $ y notin f(X1 nn X2)$
$f: S rightarrow T$
$X $ è un sottoinsieme di $S$ quindi è un sottoinsieme del dominio.
Allora alcuni o tutti gli elementi di $X$ hanno delle immagini in $T$. L'insieme delle immagini di $X$ viene denotato con $f(X)$.
$f(X)$ è anche un sottoinsieme dell'insieme T.
Nell'esercizio io ho una funzione
$f: S rightarrow T$
$f(X1 nn X2)$ questa è l'immagine dell'insieme $X1 nn X2$
$ f(X1) nn f(X2) $ è l'immagine dell'insieme $X1 $e $X2 $ distinti che poi si intersecano
Quindi $f(X1 nn X2) $ può essere un insieme più piccolo o massimo uguale all'insieme $ f(X1) nn f(X2)$
Devo dimostrare che $f(X1 nn X2) sube f(X1) nn f(X2)$
se $ x in f(X1 nn X2) $ allora $x in f(X1) ^^ f(X2) $ tale che $ f(X1) ^^ f(X2) = y $
Non vale l'uguaglianza e quindi
$EEy in f(X1) nn f(X2) $ tale che $ y notin f(X1 nn X2)$
"TT":
Allora ho una funzione
$f: S rightarrow T$
$X $ è un sottoinsieme di $S$ quindi è un sottoinsieme del dominio.
Allora alcuni o tutti gli elementi di $X$ hanno delle immagini in $T$.
Assolutamente NO. Se tu scrivi \(f\colon S \to T\) stai dicendo che l'immagine di ogni elemento di \(\displaystyle S \) è in \(\displaystyle T \) e questo rimane vero per sottoinsiemi di \(\displaystyle S \).
"TT":
[...] Non vale l'uguaglianza e quindi
$EEy in f(X1) nn f(X2) $ tale che $ y notin f(X1 nn X2)$
In realtà a volte l'uguaglianza vale. Se banalmente considero la funzione \(\displaystyle f\colon X \to \mathbb{R} \) definita come \(\displaystyle x\mapsto 0 \) per ogni \(\displaystyle x \) allora l'uguaglianza vale. D'altra parte posso costruire un controesempio con \(\displaystyle f\colon \{0,1,2\}\to \{0, 1\} \) (con meno di 3 elementi nel dominio e 2 nel codominio l'uguaglianza vale sempre).
@TT,
pardon se non ho risposto subito/prima.. sono scappato al dipartimento per seguire un corso!
1°: di solito si trattano funzioni totali, non ha senso distingure \(S \) e dominio di \(f \) in quanto sono la stessa cosa! Ergo:
2°:
3°:
4°: l'implicazione
5°:
Saluti
mmm
pardon se non ho risposto subito/prima.. sono scappato al dipartimento per seguire un corso!
1°: di solito si trattano funzioni totali, non ha senso distingure \(S \) e dominio di \(f \) in quanto sono la stessa cosa! Ergo:
"TT":non è vero, nel tuo caso, per definizione di funzione, \( \forall x \in S( \exists!y \in T(y=f(x)))\)... tutti gli elementi di \( S \) hanno un'immagine rispetto ad \( f\)
Allora alcuni o tutti gli elementi di $X$ hanno delle immagini in $T$.
2°:
"TT":nella proprietà non sono presi distinti!
...$X1 $e $X2 $ distinti che poi si intersecano\( X_1 \) e \( X_2 \)..
3°:
"TT":non capisco che intendi; dovresti usare un apposito linguaggio matematico!
..insieme più piccolo o massimo uguale..
4°: l'implicazione
"TT":non la capisco, potresti esplicitare i ragionamenti? Vediamo dove sono corretti e dove sbagliati!
Devo dimostrare che $f(X1 nn X2) sube f(X1) nn f(X2)$
se $ x in f(X1 nn X2) $ allora $x in f(X1) ^^ f(X2) $ tale che $ f(X1) ^^ f(X2) = y $
5°:
"TT":non capisco cosa hai fatto!!
Non vale l'uguaglianza e quindi
$EEy in f(X1) nn f(X2) $ tale che $ y notin f(X1 nn X2)$
Saluti
"TT":
come si svolge questo esercizio
Sia $f : S to T $ una applicazione; si dimostri che $ f(X1 nn X2) sube f(X1) nn f(X2) $ ma in generale non
vale l'uguaglianza
se $x in X_1 cap X_2$ allora $x in X_1$ ed $x in X_2$
quindi $f(x) in f(X_1)$ ed $f(x) in f(X_2)$, cioè la tesi
facciamo vedere con un esempio che non sempre vale l'uguaglianza
sia $f : S rarr T$,con
$S={1,2,3};T={4,5}$
ed
$f(1)=5;f(2)=4;f(3)=5$
posto $X_1={1,2};X_2={2,3}$,......
ma io non capisco una cosa $f(X1 nn X2) $ non è la stessa cosa di $f(X1) nn f(X2) $ ?
"stormy":
[quote="TT"]come si svolge questo esercizio
Sia $f : S to T $ una applicazione; si dimostri che $ f(X1 nn X2) sube f(X1) nn f(X2) $ ma in generale non
vale l'uguaglianza
se $x in X_1 cap X_2$ allora $x in X_1$ ed $x in X_2$
quindi $f(x) in f(X_1)$ ed $f(x) in f(X_2)$, cioè la tesi
facciamo vedere con un esempio che non sempre vale l'uguaglianza
sia $f : S rarr T$,con
$S={1,2,3};T={4,5}$
ed
$f(1)=5;f(2)=4;f(3)=5$
posto $X_1={1,2};X_2={2,3}$,......[/quote]
Ok, mi sembra tu abbia capito.
"TT":
ma io non capisco una cosa $ f(X1 nn X2) $ non è la stessa cosa di $ f(X1) nn f(X2) $ ?
Non direi proprio. Leggiti il resto della discussione.
se $x∈X1∩X2 $allora $x∈X1$ ed$ x∈X2 $
quindi $f(x)∈f(X1) $ed $f(x)∈f(X2)$, cioè la tesi
questa è la dimostrazione ?
"TT":se $x∈X1∩X2 $allora $x∈X1$ ed$ x∈X2 $
quindi $f(x)∈f(X1) $ed $f(x)∈f(X2)$, cioè la tesi
questa è la dimostrazione ?
Di una parte.
c'è qualcuno di buona volontà che mi fa la dimostrazione completa. Può darsi che capisco come si fanno. Grazie
[xdom="vict85"]Non è così che funziona. Leggiti meglio il regolamento.[/xdom]
Tutto ciò che serve è già nella discussione.
Tutto ciò che serve è già nella discussione.
magari se leggessi attentamente quello che ti scriviamo,ti accorgeresti che l'abbiamo già fatto
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