Dimostrazioni - Discreta 2
Buondì! Mi sto preparando per l'esame (in itinere) di matematica discreta 2, e per prepararmi dovrei riuscire a fare diverse dimostrazioni...Fra le quali 2 mi lasciano perplesso 
Potete aiutarmi voi?
Allora ecco i testi e i miei tentativi di dimostrare:
1) Siano $ a,b in ZZ $ non entrambi nulli. Si dimostri che esiste al più un $ c in ZZ $ tale che $ a = b * c $.
Mio tentativo:
Se $ a = b * c $, vuol dire che $ b|a $. c è unica tranne quando $ a = 0 $ e $ b = 0 $. Infatti basta osservare un esempio
$ 2 | 6 rArr 6 = 2 * 3 $
Dove 3 è il risultato della divisione di 6 per 2. Visto che il risultato delle divisioni fra numeri t.c. $ a!=0 $ e $ b!=0 $ è unico, allora anche c sarà unica.
2) Siano $ a = b*q + r $ con $ a,b,q,r in ZZ $. Si mostri che se $ d = (a,b) $ (cioè d uguale al MCD di a e b), allora $ d = (q,r) $.
Mio tentativo:
Sia $ c in ZZ $ un divisore comune di a,b. Allora
$ r = a - b*q $
$ c|a rArr a = c*x $
$ c|b rArr b = c*y $
per certi $ x,y in ZZ $.
Sostituisco $ r = a - b*q = c*x - c*y*q = c * (x - y*q) $, cioè $ c|r $.
Il fatto è che non so come continuare! Perché ho dimostrato che se c divide a e b, allora divide anche r...Ma q?
Grazie mille per l'aiuto
Potete aiutarmi voi?
Allora ecco i testi e i miei tentativi di dimostrare:
1) Siano $ a,b in ZZ $ non entrambi nulli. Si dimostri che esiste al più un $ c in ZZ $ tale che $ a = b * c $.
Mio tentativo:
Se $ a = b * c $, vuol dire che $ b|a $. c è unica tranne quando $ a = 0 $ e $ b = 0 $. Infatti basta osservare un esempio
$ 2 | 6 rArr 6 = 2 * 3 $
Dove 3 è il risultato della divisione di 6 per 2. Visto che il risultato delle divisioni fra numeri t.c. $ a!=0 $ e $ b!=0 $ è unico, allora anche c sarà unica.
2) Siano $ a = b*q + r $ con $ a,b,q,r in ZZ $. Si mostri che se $ d = (a,b) $ (cioè d uguale al MCD di a e b), allora $ d = (q,r) $.
Mio tentativo:
Sia $ c in ZZ $ un divisore comune di a,b. Allora
$ r = a - b*q $
$ c|a rArr a = c*x $
$ c|b rArr b = c*y $
per certi $ x,y in ZZ $.
Sostituisco $ r = a - b*q = c*x - c*y*q = c * (x - y*q) $, cioè $ c|r $.
Il fatto è che non so come continuare! Perché ho dimostrato che se c divide a e b, allora divide anche r...Ma q?
Grazie mille per l'aiuto
Risposte
"Black27":
1) Siano $ a,b in ZZ $ non entrambi nulli. Si dimostri che esiste al più un $ c in ZZ $ tale che $ a = b * c $.
Mio tentativo:
Se $ a = b * c $, vuol dire che $ b|a $. c è unica tranne quando $ a = 0 $ e $ b = 0 $. Infatti basta osservare un esempio
$ 2 | 6 rArr 6 = 2 * 3 $
Dove 3 è il risultato della divisione di 6 per 2. Visto che il risultato delle divisioni fra numeri t.c. $ a!=0 $ e $ b!=0 $ è unico, allora anche c sarà unica.
Non so che ragionamento hai fatto, ma io procederei così:
Supponiamo esistano due interi $c_1 , c_2$ tali che $a = b c_1$ e $a = b c_2$. Dimostriamo che coincidono:
$a = b c_1$ , $a = b c_2$ $Rightarrow$ $b c_1 = b c_2$ $Rightarrow$ $b ( c_1 - c_2 ) = 0$
Ma per ipotesi $b != 0$ , quindi $c_1 - c_2 = 0$, cioè la tesi.
"Black27":
2) Siano $ a = b*q + r $ con $ a,b,q,r in ZZ $. Si mostri che se $ d = (a,b) $ (cioè d uguale al MCD di a e b), allora $ d = (q,r) $.
cic redo che fai molta fatica a dimostrarlo;questa affernazione è falsa.
ad esempio siano a=95,b=9, e di conseguenza q=10 e r=5.
gli mcd non coincidono.
"Seneca":
[quote="Black27"]
1) Siano $ a,b in ZZ $ non entrambi nulli. Si dimostri che esiste al più un $ c in ZZ $ tale che $ a = b * c $.
Mio tentativo:
Se $ a = b * c $, vuol dire che $ b|a $. c è unica tranne quando $ a = 0 $ e $ b = 0 $. Infatti basta osservare un esempio
$ 2 | 6 rArr 6 = 2 * 3 $
Dove 3 è il risultato della divisione di 6 per 2. Visto che il risultato delle divisioni fra numeri t.c. $ a!=0 $ e $ b!=0 $ è unico, allora anche c sarà unica.
Non so che ragionamento hai fatto, ma io procederei così:
Supponiamo esistano due interi $c_1 , c_2$ tali che $a = b c_1$ e $a = b c_2$. Dimostriamo che coincidono:
$a = b c_1$ , $a = b c_2$ $Rightarrow$ $b c_1 = b c_2$ $Rightarrow$ $b ( c_1 - c_2 ) = 0$
Ma per ipotesi $b != 0$ , quindi $c_1 - c_2 = 0$, cioè la tesi.[/quote]
Così mi sembra perfetta!! Grazie mille, davvero
"paolo.papadia":
[quote="Black27"]
2) Siano $ a = b*q + r $ con $ a,b,q,r in ZZ $. Si mostri che se $ d = (a,b) $ (cioè d uguale al MCD di a e b), allora $ d = (q,r) $.
cic redo che fai molta fatica a dimostrarlo;questa affernazione è falsa.
ad esempio siano a=95,b=9, e di conseguenza q=10 e r=5.
gli mcd non coincidono.[/quote]
Ma porc...hai ragione!! Infatti ora è stato corretto l'esercizio, c'era una lettera sbagliata nel testo (hanno sbagliato a scrivere, q al posto di b...mamma mia
e pensare che mi stavo scervellando!!). Con b è decisamente più fattibile, ora mi applico! Grazie!
"Black27":
Infatti ora è stato corretto l'esercizio, c'era una lettera sbagliata nel testo (hanno sbagliato a scrivere, q al posto di b...mamma mia
Mah... e che cambia a scrivere $q$ al posto di $b$ nell'asserzione di cui sopra?
"Rggb":
[quote="Black27"]Infatti ora è stato corretto l'esercizio, c'era una lettera sbagliata nel testo (hanno sbagliato a scrivere, q al posto di b...mamma mia
Mah... e che cambia a scrivere $q$ al posto di $b$ nell'asserzione di cui sopra?[/quote]
Cambia perché devi trovare $ d=(b,r) $ e non $d=(q,r)$, quindi è più semplice
Comunque ormai l'esame l'ho fatto e ho pure preso 26 yesssss 
Congratulazioni per l'esame. 
Comunque insisto, cambiamo pure l'asserto:
"Siano $ a = b*q + r $ con $ a,b,q,r in ZZ $. Si mostri che se $ d = (a,q) $ (cioè d uguale al MCD di a e q), allora $ d = (b,r) $."
Al quale riporto il controesempio di sopra:
Difatti è $(a,q)=5$ e $(b,r)=1$...
Comunque insisto, cambiamo pure l'asserto:
"Siano $ a = b*q + r $ con $ a,b,q,r in ZZ $. Si mostri che se $ d = (a,q) $ (cioè d uguale al MCD di a e q), allora $ d = (b,r) $."
Al quale riporto il controesempio di sopra:
questa affernazione è falsa.
ad esempio siano a=95,b=9, e di conseguenza q=10 e r=5.
gli mcd non coincidono.
Difatti è $(a,q)=5$ e $(b,r)=1$...
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