Dimostrazioni di monoidi e anelli
qualcuno me le può scrivere ?non trovo le dimostrazioni
Risposte
@andrea991,
piú che trovarle hai provato tu a dimostrare? Risparmi tempo a cercarle...
Comunque bisogna capire un attimo a che definizioni sei abituato, di solito si abusano con gli assiomi in una struttura algebrica e alle volte per dedurre una cosa si fanno insalate (buone insalate, spero capisci la metafora) quando sarebbe giusto procedere per costruzione e passo dopo passo, basti pensare che esistono magmi con elementi neutri[url]magmi unitari[/url] e simmetrici (rispet. da destra e sinistra).. quindi vorrei capire se vuoi le definizioni che trovi nel 90% dei libri o quelle in cui si distinguendo neutri (rispet. simmetrici) da destra e da sinistra facendo vedere opportune proprietá..?!
Nel 90% dei casi:
-\((M,\bot)\) is Magma se \(\bot:(M\times M)\to M\)
-\((M,\bot)\) is Semigruppo se \((M,\bot)\) é Magma associativo (ovvero: \((M,\bot)\) é Magma e \(\forall x,y,z\in M:(x \bot(y\bot z))=((x \bot y)\bot z)\))
-\((M,\bot)\) is Monoide se \((M,\bot)\) é Semigruppo con elemento neutro (ovvero: \((M, \bot)\) é Semigruppo e \(\exists x \in M:\forall y \in M:(y\bot x)=y=(x \bot y)\))
in un Monoide l elemento neutro é unico (ovvero: \(\exists! x \in M:\forall y \in M:(y\bot x)=y=(x \bot y)\)), per dimostrarlo basta prenderne un altro del tipo che poniamo essere \(x´\) allora \(x=(x \bot x´)=x´\) (e qui mi sono rifatto all assioma dell esistenza di un elemento neutro (senza passare per l associativitá ma usando il dato che ogni elemento neutro lo é sia da destra che da sinistra, allora sembra logico pensare che forse il Monoide non é la struttura algebrica piú piccola per definire un elemento neutro, o magari non é tanto l associativitá quella che conta,...etc etc, comunque sia, é ben dimostrato
))
-\((M,\bot)\) is Gruppo se \((M, \bot)\) é Monoide (con elemento neutro \(e\)) con ogni elemento ivertibile (ovvero: \((M,\bot)\) é Monoide e \(\forall x \in M: \exists y \in M: (x\bot y)=e(y \bot x)\))
in un Gruppo ogni elemento ammette alpiú un inverso (ovvero: \(\forall x \in M: \exists! y \in M: (x\bot y)=e=(y \bot x)\)), per dimostrarlo basta prendere un altro del tipo che poniamo essere \(y´\) allora \(y=(y \bot e)=(y \bot (x\bot y´))=((y \bot x)\bot y´)=(e \bot y´)=y´\) (e qui mi sono rifatti alla assioma dell elemento neutro e alla proprieta associativa e all assioma dell esistenza dell invertibile (potrei dire di averle usate tutte, si e no a dire il vero.. inoltre si potrebbe fare ancora piú semplice dimostrando che ogni elemento invertibile in un Monoide é regolare (sia da destra che da sinistra) ma questo mi porta a pensare che si puó definire l inverso (avendo un neutro) in struture con meno assiomi di un gruppo, .. etc etc, comunque sia, anche qui é ben dimostrato))
Ora tu sai spero cosa sia un Anello? Se si, dovresti riuscire da solo nel proseguire.. (usa un manuale)
piú che trovarle hai provato tu a dimostrare? Risparmi tempo a cercarle...
Comunque bisogna capire un attimo a che definizioni sei abituato, di solito si abusano con gli assiomi in una struttura algebrica e alle volte per dedurre una cosa si fanno insalate (buone insalate, spero capisci la metafora) quando sarebbe giusto procedere per costruzione e passo dopo passo, basti pensare che esistono magmi con elementi neutri[url]magmi unitari[/url] e simmetrici (rispet. da destra e sinistra).. quindi vorrei capire se vuoi le definizioni che trovi nel 90% dei libri o quelle in cui si distinguendo neutri (rispet. simmetrici) da destra e da sinistra facendo vedere opportune proprietá..?!
Nel 90% dei casi:
-\((M,\bot)\) is Magma se \(\bot:(M\times M)\to M\)
-\((M,\bot)\) is Semigruppo se \((M,\bot)\) é Magma associativo (ovvero: \((M,\bot)\) é Magma e \(\forall x,y,z\in M:(x \bot(y\bot z))=((x \bot y)\bot z)\))
-\((M,\bot)\) is Monoide se \((M,\bot)\) é Semigruppo con elemento neutro (ovvero: \((M, \bot)\) é Semigruppo e \(\exists x \in M:\forall y \in M:(y\bot x)=y=(x \bot y)\))
in un Monoide l elemento neutro é unico (ovvero: \(\exists! x \in M:\forall y \in M:(y\bot x)=y=(x \bot y)\)), per dimostrarlo basta prenderne un altro del tipo che poniamo essere \(x´\) allora \(x=(x \bot x´)=x´\) (e qui mi sono rifatto all assioma dell esistenza di un elemento neutro (senza passare per l associativitá ma usando il dato che ogni elemento neutro lo é sia da destra che da sinistra, allora sembra logico pensare che forse il Monoide non é la struttura algebrica piú piccola per definire un elemento neutro, o magari non é tanto l associativitá quella che conta,...etc etc, comunque sia, é ben dimostrato
))-\((M,\bot)\) is Gruppo se \((M, \bot)\) é Monoide (con elemento neutro \(e\)) con ogni elemento ivertibile (ovvero: \((M,\bot)\) é Monoide e \(\forall x \in M: \exists y \in M: (x\bot y)=e(y \bot x)\))
in un Gruppo ogni elemento ammette alpiú un inverso (ovvero: \(\forall x \in M: \exists! y \in M: (x\bot y)=e=(y \bot x)\)), per dimostrarlo basta prendere un altro del tipo che poniamo essere \(y´\) allora \(y=(y \bot e)=(y \bot (x\bot y´))=((y \bot x)\bot y´)=(e \bot y´)=y´\) (e qui mi sono rifatti alla assioma dell elemento neutro e alla proprieta associativa e all assioma dell esistenza dell invertibile (potrei dire di averle usate tutte, si e no a dire il vero.. inoltre si potrebbe fare ancora piú semplice dimostrando che ogni elemento invertibile in un Monoide é regolare (sia da destra che da sinistra) ma questo mi porta a pensare che si puó definire l inverso (avendo un neutro) in struture con meno assiomi di un gruppo, .. etc etc, comunque sia, anche qui é ben dimostrato))
Ora tu sai spero cosa sia un Anello? Se si, dovresti riuscire da solo nel proseguire.. (usa un manuale)
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