Dimostrazioni di fondamenti della matematica

[paky-jonk46]

ciao volevo sapere come fare queste due dimostrazioni di fondamenti della matematica:
- mostrare che (X$uu$Y)$nn$Z = (X$nn$Z)$uu$ (Y$nn$Z) e che (X$nn$Y)$uu$Z=(X$uu$Z)$nn$ (Y$uu$Z)
-mostrare che ci sono classi che non sono insiemi
Grazie mille!

[Pappappero1]

Le dimostrazioni di teoria degli insiemi del tipo indicato al primo punto si fanno più o meno sempre prendendo un elemento da una parte e facendo vedere che sta anche nell'altra e viceversa. In questo modo fai vedere la doppia inclusione e quindi l'eguaglianza. Ad esempio:

prendo $p \in (X \cup Y)\cap Z$. Allora $p$ sta in $X \cap Y$ e in $Z$. Poiché sta in $X \cup Y$ allora sta in $X$ oppure in $Y$. Quindi si può dedurre che $p$ sta in $X$ e $Z$ oppure in $Y$ e $Z$, ovvero sta in $X \cap Z$ oppure in $Y \cap Z$, ovvero sta in $(X \cap Z) \cup (Y \cap Z)$. Così si dimostra che $[(X \cup Y)\cap Z] \subseteq [(X \cap Z) \cup (Y \cap Z)]$. (il mio oppure è sempre l'o della logica, che quindi vale e/o)

In modo analogo puoi dimostrare le altre tre inclusioni che ti servono per dimostrare le due eguaglianze.

Per il secondo esercizio devi usare gli esempi di cose che sembrano insiemi ma in realtà non lo sono, come la classe che viene definita dal paradosso di Russel, oppure la classe di tutti gli insiemi.