Dimostrazioni a partire da assiomi
Salve,
ho un dubbio che non riesco a spiegarmi
, quando definiamo una struttura algebrica (come ad esempio un campo o un spazio vettoriale) definiamo delle operazioni e degli assiomi, e da questi poi dimostriamo tutte le proprietà e i teoremi.
Il mio dubbio è: se dobbiamo dimostrare la regola dei segni su un campo e quindi ad esempio dimostrare che $$(-1) (-1) = 1 $$ come facciamo??
Poi un altro domanda è: in generale in qualsiasi branca della matematica, se devo dimostrare qualcosa do come assioma le operazioni banali, come ad esempio sommare in numeri, usare i principi di equivalenza per risolvere equazioni ecc.., o si dimostrano a partire da assiomi??
Ad esempio come si dimostra che $$ 2 + 5 = 7 $$
ho un dubbio che non riesco a spiegarmi
, quando definiamo una struttura algebrica (come ad esempio un campo o un spazio vettoriale) definiamo delle operazioni e degli assiomi, e da questi poi dimostriamo tutte le proprietà e i teoremi.Il mio dubbio è: se dobbiamo dimostrare la regola dei segni su un campo e quindi ad esempio dimostrare che $$(-1) (-1) = 1 $$ come facciamo??
Poi un altro domanda è: in generale in qualsiasi branca della matematica, se devo dimostrare qualcosa do come assioma le operazioni banali, come ad esempio sommare in numeri, usare i principi di equivalenza per risolvere equazioni ecc.., o si dimostrano a partire da assiomi??
Ad esempio come si dimostra che $$ 2 + 5 = 7 $$
Risposte
La tua prima domanda è già stata discussa in questo post: http://www.matematicamente.it/forum/perche-meno-per-meno-da-piu-t60942.html
Per quanto riguarda la seconda:
Prima di dimostrare questa equivalenza dovresti considerare il sistema assiomatico entro cui dimostrarla.
Prendiamo in esempio gli assiomi di Peano che caratterizzano $NN$:
tra gli assiomi figurano l'esistenza di un particolare elemento $0inNN$ e l'esistenza di una particolare funzione iniettiva, chiamata Successore, $sigma: NN to NN$ tale che $sigma(x)!=0 AAx in NN$; questi ci dicono che $0$ non è il successore di nessun'altro elemento.
Poi a partire da questa funzione si definiscono l'operazione binaria e interna di somma $+:NN toNN$, viene definita ricorsivamente in questo modo:
${(0+m=m),(sigma(m)+n=sigma(m+n)):}$(con questa definizione $+$ assume importanti proprietà, ti invito ad approfondire)
Adesso, definiamo i simboli comuni degli elementi di $NN$ come immagini di particolari elementi in $NN$ tramite $sigma$(e questo puoi farlo perchè $sigma(NN)uu{0}=NN$ grazie al principio di induzione, ti invito a dimostrarlo è un semplice esercizio), ad esempio definiamo $1=sigma(0)$,$2=sigma(sigma(0))$ e cosi via..
a questo punto per dimostrare $2+5=7$ basta applicare la definizione ricorsiva di $+$.
,se invece definisci $NN$ come il piu piccolo insieme induttivo contenuto in $RR$(se non conosci questa particolare costruzione ti invito ad approfondire), allora definisci i simboli comuni $1,2,3,....$ come, $2=1+1$,$3=2+1$,..(potresti obiettare che non è detto che ad esempio $2+1$ è nell'insieme ma questo è vero per definizione stessa di insieme induttivo); a questo punto è ovvio che $2+5=7$, basta applicare la definizione di cui sopra.
Per quanto riguarda la seconda:
Prima di dimostrare questa equivalenza dovresti considerare il sistema assiomatico entro cui dimostrarla.
Prendiamo in esempio gli assiomi di Peano che caratterizzano $NN$:
tra gli assiomi figurano l'esistenza di un particolare elemento $0inNN$ e l'esistenza di una particolare funzione iniettiva, chiamata Successore, $sigma: NN to NN$ tale che $sigma(x)!=0 AAx in NN$; questi ci dicono che $0$ non è il successore di nessun'altro elemento.
Poi a partire da questa funzione si definiscono l'operazione binaria e interna di somma $+:NN toNN$, viene definita ricorsivamente in questo modo:
${(0+m=m),(sigma(m)+n=sigma(m+n)):}$(con questa definizione $+$ assume importanti proprietà, ti invito ad approfondire)
Adesso, definiamo i simboli comuni degli elementi di $NN$ come immagini di particolari elementi in $NN$ tramite $sigma$(e questo puoi farlo perchè $sigma(NN)uu{0}=NN$ grazie al principio di induzione, ti invito a dimostrarlo è un semplice esercizio), ad esempio definiamo $1=sigma(0)$,$2=sigma(sigma(0))$ e cosi via..
a questo punto per dimostrare $2+5=7$ basta applicare la definizione ricorsiva di $+$.
,se invece definisci $NN$ come il piu piccolo insieme induttivo contenuto in $RR$(se non conosci questa particolare costruzione ti invito ad approfondire), allora definisci i simboli comuni $1,2,3,....$ come, $2=1+1$,$3=2+1$,..(potresti obiettare che non è detto che ad esempio $2+1$ è nell'insieme ma questo è vero per definizione stessa di insieme induttivo); a questo punto è ovvio che $2+5=7$, basta applicare la definizione di cui sopra.
"pippopaperino":
Salve,
ho un dubbio che non riesco a spiegarmi
Il mio dubbio è: se dobbiamo dimostrare la regola dei segni su un campo e quindi ad esempio dimostrare che $$(-1) (-1) = 1 $$ come facciamo??
Ciao
Dimostriamola su $ RR $ , do per scontato che tu conosca gli assiomi di $ RR $ , preliminarmente facciamo vedere che:1) $ (-a)b=-ab $ , $ a(-b)=-ab $ $ AA a,b in RR $ ;
2) $ -(-x)=x $ $ AA x in RR $ cioè l'inverso dell'inverso di un numero reale è il numero reale stesso.
Dimostriamo la 1) : $ 0=0b=(a+(-a))b=ab+(-a)b $ da cui $ 0=ab+(-a)b $ , adesso sommiamo ambo i membri l'opposto di $ ab $ cioè $ -ab $ : $ -ab+0=-ab+ab+(-a)b $ da cui $ -ab=(-a)b $ .
Analogamente si fa vedere che $ a(-b)=-ab $ $ AA a,b in RR $ provaci tu per esercizio.
Dimostriamo la 2) : sappiamo che $ 0=x+(-x) $ $ AA x in RR $ , mettendo $ -x $ al posto di $ x $ otteniamo $ 0=(-x)+(-(-x)) $ e sommando ad ambo i membri $ x $ otteniamo $ x+0=x+(-x)+(-(-x)) $ da cui $ x+=(-(-x)) $ .
A questo punto è facile far vedere che $ (-a)(-b)=ab $ $ AA a,b in RR $ infatti applicando la 1) : $ (-a)(-b)=-(a(-b))=-(-ab) $ e per la 2) $ -(-ab)=ab $ da cui la tesi $ (-a)(-b)=ab $ $ AA a,b in RR $ . Ora ti basta porre $ a=b=1 $
La seconda domanda è un po' bizzara... In ogni caso non si dimostra che $ 2+5=7 $ è cosi e basta... $ 7 $ è il nome che diamo a questo particolare numero nella notazione decimale... Spero di essere stato chiaro
Ciao Ciao
Molte grazie a tutti e due!!
Un ultima domanda i principi di equivalenza(ad esempio sommare ad ambo i membri non cambia l'equivalenza) li posso pensare come assiomi e quindi in qualsiasi contesto li uso?? o no??
"NoSignal":
La tua prima domanda è già stata discussa in questo post: http://www.matematicamente.it/forum/perche-meno-per-meno-da-piu-t60942.html
Per quanto riguarda la seconda:
Prima di dimostrare questa equivalenza dovresti considerare il sistema assiomatico entro cui dimostrarla.
Prendiamo in esempio gli assiomi di Peano che caratterizzano $ NN $.
Un ultima domanda i principi di equivalenza(ad esempio sommare ad ambo i membri non cambia l'equivalenza) li posso pensare come assiomi e quindi in qualsiasi contesto li uso?? o no??
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