Dimostrazioni

[Principe2]

per chi voglia cimentarvisi, tra un "integrale lunare e l'altro" propongo due dimostrazioni che mi sono sembrate carine, soprattutto la seconda:

1) dimostrare che risulta

 



 n    n

 (   ) = 2^n

k=0   k

2) dimostrare che risulta:

 n      n

 k*(   ) = n*2^(n-1)

k=0     k

buon lavoro!

ciao ubermensch

[Nidhogg]

1° Dimostrazione:
La somma di tutti i coefficienti binomiali di un certo n fissato (per k da 0 a n)è uguale a 2n.

Infatti tale somma è uguale al numero di tutti i sottoinsiemi di A (che costituiscono il cosiddetto
insieme delle parti di A); un sottoinsieme B di A si può scegliere in 2^n modi diversi, perché per
ciascun elemento di A si hanno due alternative possibili: metterlo o non metterlo in B.
ESEMPIO. Se A = {a, b, c, d, e} allora:
• 1 sottoinsieme da 0 elementi: vuoto
• 5 sottoinsiemi da 1 elemento: {a}, {b}, {c}, {d}, {e}
• 10 sottoinsiemi da 2 elementi: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e}, {b, c}, {b, d}, {b, e}, {c, d}, {c, e},
{d, e}
• 10 sottoinsiemi da 3 elementi: {c, d, e}, {b, d, e}, {b, c, e}, {b, c, d}, {a, d, e}, {a, c, e}, {a, c, d},
{a, b, e}, {a, b, d}, {a, b, c}
• 5 sottoinsiemi da 4 elementi: {b, c, d, e}, {a, c, d, e}, {a, b, d, e}, {a, b, c, e}, {a, b, c, d}
• 1 sottoinsieme da 4 elementi: {a, b, c, d, e}
In tutto 1+5+10+10+5+1 = 32 = 2^5 elementi.

[Sk_Anonymous]

1)(a+b)^n=Cn,0*a^n+Cn,1*a^(n-1)*b+...+Cn,n-1*ab^(n-1)+Cn,n*b^n
Ponendo a=b=1 si ha:
2^n=Cn,0+Cn-1,1+.....+Cn,n

2)Il primo membro dell'eguaglianza e'(mettendo n in evidenza):
n*[(0)+(1)+(n-1)+(n-1)(n-2)/(1*2)+...+(n-1)+1]=
n*[0+Cn-1,0 + Cn-1,1+Cn-1,2+...+Cn-1,n-2+Cn-1,n-1]=
=n*2^(n-1) (per il problema (1)).
karl.

[Principe2]

perfetto.
colgo l'occasione per complimentarmi per la splendida risoluzione dell'"integrale lunare".

p.s. attendo la seconda

ciao, ubermensch

[Sk_Anonymous]

Ubermensch,della mia soluzione non dici niente?
C'e' anche il secondo quesito.
Saluti.
karl.

[Principe2]

Karl non capisco la notazione! se non ti va di riscriverla non ti preoccupare: mi fido ciecamente della tua bravura

p.s. non l'avevo ancora letta




Modificato da - ubermensch il 09/03/2004 22:37:30

[Nidhogg]

Il primo quesito l'hai risolto usando la formula di Newton che dà origini a un polinomio di n+1 termini, ordinato secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, di grado n,omogeneo e completo. I coefficienti dei termini equidistanti dagli estremi sono uguali, grazie alla proprietà simmetrica dei coefficienti binomiali.
Togliendo la formulazione teorica si poteva dimostrare (come ho fatto io) anche per induzione. Comunque la tua soluzione è ottima.
La seconda dimostrazione l'avevo pensata anche io così. Sei stato più veloce di me!

Ciao Ermanno

[Sk_Anonymous]

Ti ringrazio della fiducia ma non esageriamo,
sono identita' abbastanza note.
Comunque non mi sento di riscriverle,ti dico
solo che con Cn,k ho indicato il coefficiente
binomiale o,se preferisci, le combinazioni di
ordine n e di classe k (cioe quello che tu scrivi come "n su k").
Complimenti per la tua Roma:non sono romanista
ma onore al merito.
Ciao.
karl.

[Principe2]

ho capito, ma non mi tornano i conti... ponendo poi a=b=1, ritorna la somma dei coefficienti binomiali; come fai a dedurne che è 2^n?

[Sk_Anonymous]

Per a=b=1 (a+b)^n diventa 2^n.
Buona notte.
karl.

[Principe2]

certo è ovvio...!! talmente tanto che non l'ho visto. allora mi complimento per la brevità e l'eleganza!
buona notte.

ubermensch