Dimostrazione uguaglianza fra insiemi

[Michele/9611]

Dimostrare $ (AuuB)\\ (AnnB)=(A\\B)uu(B\\A) $
Io ho tentato con il seguente approccio:
fisso un generico x
$ x in (AuuB)\\(AnnB) $
allora $ x in (AuuB) ^^ neg( x in (AnnB)) $
allora $ x in A vv x in B $
Caso 1: $ x in A $
allora $ x in (A\\B) $
allora $ x in (A\\B)uu(B\\A) $
Caso 2: $ x in B $
allora $ x in (B\\A) $
allora $ x in (A\\B)uu(B\\A) $
Supponiamo ora che $ x in (A\\B)uu(B\\A) $
Caso 1: $ x in (A\\B) $
allora $ x in A ^^ not(x in B) $
allora $ x in (AuuB) ^^ not(x in (AnnB)) $
allora $ x in (AuuB)\\(AnnB) $
Caso 2: $ x in (B\\A) $
allora $ x in B ^^ not (x in A) $
allora $ x in (AuuB)^^ not (x in (AnnB)) $
allora $ x in (AuuB)\\(BnnA) $
Tuttavia sulle dispense sulle quali ho trovato il suddetto esercizio la soluzione data è un' altra, io non ho dunque alcun modo di verificare se la mia sia :
1) corretta
2) sufficientemente precisa
Ringrazio anticipatamente per la risposta.

[G.D.5]

No. Non è corretta.

Da \( \displaystyle x \in A \) non segue necessariamente che \( \displaystyle x \in A \setminus B \).
Considera per esempio \( \displaystyle A = \{ 0, 1 \} \) e \( \displaystyle B = \{ 0 \} \): allora \( \displaystyle 0 \in A \) ma non è vero che \( \displaystyle 0 \in A \setminus B \), perché \( \displaystyle A \setminus B = \{ 1 \} \).

[Michele/9611]

Ciao, che dire, hai perfettamente ragione, ho scritto una bestialità immane!! Ti ringrazio sentitamente per avermelo fatto notare, saluti

[G.D.5]

Prego.

[garnak.olegovitc1]

Io di solito preferisco definire la differenza in questo modo poiché permette di vedere subito alcune
proprietá, inoltre cerco di evitare il più possibile di ricorrere alla relazione di appartenenza: \(A\setminus B:=A\cap \overline{B}\), quindi
\begin{align*}
(A \cup B)\setminus (A\cap B)=&(A\cup B)\cap \overline{(A\cap B)} \\
=&(A\cup B)\cap (\overline{A}\cup \overline{B}) &\\
=&((A \cup B)\cap \overline{A}) \cup ((A \cup B) \cap \overline{B} )&\\
=&((A\cap \overline{A}) \cup (B \cap \overline{A})) \cup ((A\cap \overline{B})\cup (B \cup \overline{B}))&\\
=&(\emptyset \cup (B \cap \overline{A})) \cup ((A\cap \overline{B}) \cup \emptyset)&\\
=&(B \cap \overline{A}) \cup (A\cap \overline{B})&\\
=&(B\setminus A) \cup (A\setminus B)&\\
=&(A\setminus B) \cup (B\setminus A)\end{align*}

[Michele/9611]

Ok, capito, ti ringrazio

[G.D.5]

"garnak.olegovitc":Io di solito preferisco definire la differenza in questo modo poiché permette di vedere subito alcune
proprietá, inoltre cerco di evitare il più possibile di ricorrere alla relazione di appartenenza: \(A\setminus B:=A\cap \overline{B}\)...

Io però non sono d'accordo nell'usare questa uguaglianza come un'uguaglianza definitoria, sostanzialmente per due motivi:

1. innanzitutto si pone il problema di dove andare a complementare \( A \) e \( B \): o si deve supporre che i due insiemi siano sottoinsiemi di un certo insieme ambiente pre-assegnato oppure si deve allargare la teoria degli insiemi con un universo;

2. la formula che definisce il complementare è la stessa che definisce la differenza ed infatti il complementare si definisce come la differenza tra un insieme ed il suo sovrainsieme.

[garnak.olegovitc1]

"G.D.":

Io però non sono d'accordo nell'usare questa uguaglianza come un'uguaglianza definitoria, sostanzialmente per due motivi:

1. innanzitutto si pone il problema di dove andare a complementare \( A \) e \( B \): o si deve supporre che i due insiemi siano sottoinsiemi di un certo insieme ambiente pre-assegnato oppure si deve allargare la teoria degli insiemi con un universo;

2. la formula che definisce il complementare è la stessa che definisce la differenza ed infatti il complementare si definisce come la differenza tra un insieme ed il suo sovrainsieme.

La questione si fa interessante ed hai ragione. Lavoriamo in \(\mathrm{ZF(C)}\), per il punto 2 la differenza tra due insiemi \(A\) e \(B\) è l insieme degli elementi di \(A\) che non appartengono a \(B\) e se \(A\) è un sottoinsieme di \(B\) tale differenza dicesi complementare di \(A\) rispetto a \(B\), in entrami i casi abbiamo che la differenza è un sottoinsieme di \(A\), in sostanza abbiamo potuto applicare lo schema di separazione avendo un predicato soddisfacente certe condizioni.

Sempre in \(\mathrm{ZF(C)}\), per il punto 1 hai perfettamente ragione e mi sono posto la stessa questione cercando di imporre che tale complementare insieme fosse ma arrivavo al paradosso di Russell, tuttavia ho postato lo stesso perchè pensavo che l approccio era un po naive, anche se per il vuoto tanto naive non sembra , e comunque non veniva specificata alcuna assiomatica ergo mi sono messo in \(\mathrm{NBG}\) (la mia preferita) ove il completare è sottoclasse per astrazione (e vi è una maggiore libertà nelle condizioni coi predicati). Che dire, escogiteró in \(\mathrm{ZF(C)}\) qualche altra via che non passa per casi con relazione di appartenenza (e con ciò rilancio)

Ps: quanto sei pignolo, detto con ironia nonostante fai bene . Ad oggi ancora non capisco perché si insegna alle uni (e a scuola dove m__da veramente è la teoria degli insiemi che si legge nei libri scolastici) ancora \(\mathrm{ZF(C)}\) quando \(\mathrm{NBG}\) ha cose più interessanti oltre che essere un estensione e tanto altro ancora...

[garnak.olegovitc1]

avendo rilanciato ho trovato una alternativa che non passa in fin dei conti dall appartenenza ma bisogna
dimostrare prima almeno queste due
(1)- \(E\setminus(F\cap G)=(E\setminus F) \cup (E\setminus G)\)
(2)- \((E \cup F)\setminus F=E \setminus F\)
proof (1):
\begin{align*}
x\in E\setminus(F\cap G) &\leftrightarrow x \in E \wedge x \notin (F \cap G)\\
&\leftrightarrow x \in E \wedge (x \notin F \vee x \notin G)\\
&\leftrightarrow (x \in E \wedge x \notin F) \vee (x \in E \wedge x \notin G) \\
&\leftrightarrow x \in (E \setminus F) \vee x \in (E\setminus G) \\
&\leftrightarrow x \in (E\setminus F) \cup (E\setminus G)
\end{align*}
proof (2):
\begin{align*} x \in(E \cup F)\setminus F &\leftrightarrow x \in (E\cup F) \wedge x \notin F \\
&\leftrightarrow (x \in E \vee x \in F)\wedge x \notin F\\
&\leftrightarrow (x \in E \wedge x \notin F) \vee (x \in F \wedge x \notin F) \\
&\leftrightarrow x \in (E\setminus F) \vee x \in (F\setminus F) \\
&\leftrightarrow x \in ((E\setminus F) \cup \emptyset )\\
&\leftrightarrow x \in (E\setminus F)
\end{align*}
dimostriamo ora
(3)- \((A \cup B)\setminus (A\cap B)=(A \setminus B) \cup (B\setminus A)\)
proof (3):
\begin{align*}
(A \cup B)\setminus (A\cap B) &= ((A \cup B) \setminus A) \cup ((A \cup B) \setminus B)\\
&=(B \cup A) \setminus A) \cup ((A \cup B) \setminus B)\\
&= (B \setminus A) \cup (A \setminus B)\\
&=(A \setminus B) \cup (B\setminus A)
\end{align*}

Mi sembra corretto in \(\mathrm{ZF(C)}\) anche se cavilloso...

Ps: vi sarebbero altre proprietà che ho ricavato ma in questo caso bastano ed avanzano queste