Dimostrazione Teoria Dei Gruppi

[M.C.D.1]

Ragazzi Chiedo Nuovamente il vostro aiuto =)
Dovrei dimostrare che dato un gruppo (S, *) e H una Parte stabile finita di S => (H,*) e' un gruppo

Ora Io sto procedendo come segue:

Poiche' so che un monoide finito e' un gruppo se e solo se ogni elemento e' regolare
visto che S e' un gruppo ovviamente tutti i suoi elementi sono regolari (compresi quelli di H) quindi mi basterebbe dimostrare che H e' un monoide finito
In particolare Dovrei far vedere che l'unita' appartiene ad H

tuttavia mi sfugge il passaggio per cui se a e' un elemento regolare di H [tex]=> 1 \in H[/tex]

So che e' una sciocchezza ma mi sfugge ^^
Chi mi da una mano?

[klarence1]

Sia $h in H$ e $f:S->S$ la funzione che agisce così $x in S -> x*h$. La funzione è iniettiva e suriettiva, in particolare se la restringo ad $H$ la funzione $f_(|H)$ è una funzione biettiva da $H$ in $f(H)$ e poichè $H sup f(H)$ (questo perchè $H$ è stabile) e $H$ è finito necessariamente $H=f(H)$, quindi $h in f(H)$ ed esiste $h' in H$ tale che $h'*h=h=1*h$ ($h=1*h$ perchè in particolare $h in S$ che è un gruppo). Per la regolarità degli elementi di $H$ (che sono anche elementi del gruppo $S$) allora $h'=1$.
Che dici?